Torsion — Schubspannung in Wellen

Die Torsionsformel gibt die Schubspannung in einer Kreiswelle an, die ein Drehmoment überträgt. Für eine Kreiswelle im linear-elastischen Torsionsfall ist die Spannung im Abstand $r$

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

Hier ist $T$ das angreifende Drehmoment und $J$ das polare Flächenträgheitsmoment. Unter diesen Bedingungen ist die Schubspannung im Zentrum null und an der Außenfläche am größten.

Für die maximale Schubspannung setzt man $r = R$:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Dieses Ergebnis wird für volle und hohle Kreiswellen verwendet, wenn das Torsionsmodell für Kreiswellen gut passt.

Wann die Torsionsformel gilt

Verwende $\tau = Tr/J$, wenn das Bauteil als Kreiswelle in elastischer Torsion modelliert werden kann. Ist der Querschnitt nicht kreisförmig, gilt diese Spannungsverteilung im Allgemeinen nicht.

Diese Bedingung ist wichtig. Die Formel ist keine allgemeingültige Regel für jedes verdrehte Bauteil.

Was $T$, $r$, $R$ und $J$ bedeuten

• $T$: angreifendes Drehmoment
• $r$: Abstand vom Wellenmittelpunkt zum betrachteten Punkt
• $R$: Außenradius der Welle
• $J$: polares Flächenträgheitsmoment des Querschnitts

Für häufige Kreiswellen gilt:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{für eine volle Kreiswelle}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{für eine hohle Kreiswelle}$$

Warum die Spannung mit dem Abstand vom Zentrum größer wird

Eine Welle unter Torsion wird nicht überall gleich stark geschert. Material weiter vom Zentrum entfernt muss beim Verdrehen der Welle einen größeren Kreisweg zurücklegen, daher nimmt die Schubwirkung mit dem Radius zu.

Deshalb ist die Formel proportional zu $r$. Auf der Mittellinie gilt $r = 0$, also ist die Schubspannung dort null. An der Außenfläche ist $r$ am größten, daher ist dort auch die Schubspannung am größten.

Rechenbeispiel: Maximale Schubspannung in einer vollen Welle

Angenommen, eine volle Kreiswelle hat den Radius $R = 0.020\ \mathrm{m}$ und überträgt ein Drehmoment von $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$. Gesucht ist die maximale Schubspannung.

Berechne zuerst das polare Flächenträgheitsmoment:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Verwende nun die Form für die maximale Spannung:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Damit ist die maximale Schubspannung

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

Dieses Beispiel zeigt das Grundmuster deutlich. Bei derselben Wellenart erhöht ein größeres Drehmoment die Spannung, während ein größeres polares Flächenträgheitsmoment $J$ sie verringert.

Häufige Fehler bei der Torsionsformel

Die Formel für den falschen Querschnitt verwenden

$\tau = Tr/J$ ist das Standardergebnis der elastischen Torsion für Kreiswellen. Ist der Querschnitt nicht kreisförmig oder liegt das Material außerhalb des angenommenen elastischen Bereichs, beschreibt diese Formel die tatsächliche Spannung möglicherweise nicht korrekt.

$J$ und $I$ verwechseln

$J$ ist das polare Flächenträgheitsmoment, nicht das Flächenträgheitsmoment $I$, das bei gewöhnlicher Balkenbiegung verwendet wird. Eine Verwechslung führt zum falschen Ergebnis.

Vergessen, dass die Spannung vom Radius abhängt

Die Spannung ist über den Wellenquerschnitt nicht konstant. Sie ändert sich mit $r$, daher ist der Wert im Zentrum nicht derselbe wie an der Oberfläche.

Inkonsistente Einheiten verwenden

Wenn das Drehmoment in $\mathrm{N \cdot m}$, der Radius in $\mathrm{m}$ und $J$ in $\mathrm{m^4}$ angegeben sind, ergibt sich die Spannung in $\mathrm{Pa}$. Das Mischen von Millimetern und Metern ist eine häufige Fehlerquelle.

Wo man die Torsionsformel verwendet

Die Torsionsformel wird verwendet, wenn Ingenieurinnen, Ingenieure und Physikstudierende die Schubspannung in rotierenden Wellen, Antriebsachsen, Bohrwellen, Motorkupplungen und ähnlichen Bauteilen abschätzen müssen, die Drehmoment übertragen.

In der Praxis hilft sie bei einer einfachen Konstruktionsfrage: Ist die Geometrie der Welle groß genug, um das Drehmoment zu übertragen, ohne eine zulässige Schubspannung zu überschreiten?

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Behalte dieselbe Welle bei, aber verdopple das Drehmoment. Da $\tau$ proportional zu $T$ ist, verdoppelt sich auch die maximale Schubspannung.

Wenn du deine eigene Variante mit einem anderen Radius oder einer hohlen Welle ausprobieren willst, löse eine ähnliche Torsionsaufgabe im GPAI Solver.