แรงบิด — ความเค้นเฉือนในเพลา

สูตรแรงบิดใช้บอกความเค้นเฉือนภายในเพลากลมที่รับแรงบิด สำหรับเพลากลมในสภาวะแรงบิดแบบยืดหยุ่นเชิงเส้น ความเค้นที่รัศมี $r$ คือ

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

โดยที่ $T$ คือแรงบิดที่กระทำ และ $J$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่หน้าตัด ภายใต้เงื่อนไขนี้ ความเค้นเฉือนจะเป็นศูนย์ที่จุดศูนย์กลาง และมีค่ามากที่สุดที่ผิวด้านนอก

สำหรับความเค้นเฉือนสูงสุด ให้แทน $r = R$:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

ผลลัพธ์นี้ใช้ได้กับทั้งเพลากลมตันและเพลากลวง เมื่อแบบจำลองแรงบิดของเพลากลมเหมาะสมกับปัญหา

สูตรแรงบิดใช้ได้เมื่อใด

ใช้ $\tau = Tr/J$ เมื่อสามารถจำลองชิ้นส่วนเป็นเพลากลมที่อยู่ภายใต้แรงบิดแบบยืดหยุ่นได้ หากหน้าตัดไม่เป็นวงกลม การกระจายความเค้นแบบนี้โดยทั่วไปจะใช้ไม่ได้

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก สูตรนี้ไม่ใช่กฎสากลสำหรับชิ้นส่วนทุกชิ้นที่ถูกบิด

$T$, $r$, $R$ และ $J$ หมายถึงอะไร

• $T$: แรงบิดที่กระทำ
• $r$: ระยะจากศูนย์กลางเพลาไปยังจุดที่สนใจ
• $R$: รัศมีภายนอกของเพลา
• $J$: โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่หน้าตัด

สำหรับเพลากลมที่พบบ่อย:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{สำหรับเพลากลมตัน}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{สำหรับเพลากลวง}$$

ทำไมความเค้นจึงมากขึ้นเมื่ออยู่ไกลจากศูนย์กลาง

เพลาที่รับแรงบิดไม่ได้เกิดแรงเฉือนเท่ากันทุกจุด วัสดุที่อยู่ไกลจากศูนย์กลางต้องเคลื่อนที่ตามแนววงกลมที่ยาวกว่าเมื่อเพลาบิดตัว ดังนั้นผลของแรงเฉือนจึงเพิ่มขึ้นตามรัศมี

นั่นคือเหตุผลที่สูตรแปรผันตาม $r$ เส้นกึ่งกลางมี $r = 0$ ดังนั้นความเค้นเฉือนที่จุดนั้นจึงเป็นศูนย์ ส่วนผิวด้านนอกมี $r$ มากที่สุด จึงรับความเค้นเฉือนมากที่สุด

ตัวอย่างคำนวณ: ความเค้นเฉือนสูงสุดในเพลาตัน

สมมติว่าเพลากลมตันมีรัศมี $R = 0.020\ \mathrm{m}$ และรับแรงบิด $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$ จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด

ขั้นแรก คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่หน้าตัด:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

จากนั้นใช้รูปแบบสำหรับความเค้นสูงสุด:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

ดังนั้น ความเค้นเฉือนสูงสุดคือ

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

ตัวอย่างนี้แสดงรูปแบบหลักได้ชัดเจน สำหรับเพลาประเภทเดียวกัน หากแรงบิดมากขึ้น ความเค้นก็จะเพิ่มขึ้น ขณะที่โมเมนต์เชิงขั้ว $J$ ที่มากขึ้นจะทำให้ความเค้นลดลง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้สูตรแรงบิด

ใช้สูตรกับหน้าตัดผิดประเภท

$\tau = Tr/J$ เป็นผลลัพธ์มาตรฐานของแรงบิดแบบยืดหยุ่นสำหรับเพลากลม หากหน้าตัดไม่เป็นวงกลม หรือวัสดุอยู่นอกช่วงยืดหยุ่นที่สมมติไว้ สูตรนี้อาจอธิบายความเค้นจริงได้ไม่ถูกต้อง

สับสนระหว่าง $J$ กับ $I$

$J$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่แบบ เชิงขั้ว ไม่ใช่โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ $I$ ที่ใช้ในการดัดคานทั่วไป หากสลับกันจะได้คำตอบผิด

ลืมว่าความเค้นขึ้นอยู่กับรัศมี

ความเค้นไม่ได้คงที่ตลอดหน้าตัดของเพลา มันเปลี่ยนไปตาม $r$ ดังนั้นค่าที่จุดศูนย์กลางจึงไม่เท่ากับค่าที่ผิว

ใช้หน่วยไม่สอดคล้องกัน

ถ้าแรงบิดมีหน่วยเป็น $\mathrm{N \cdot m}$, รัศมีเป็น $\mathrm{m}$ และ $J$ เป็น $\mathrm{m^4}$ ความเค้นที่ได้จะมีหน่วยเป็น $\mathrm{Pa}$ การปนกันระหว่างมิลลิเมตรกับเมตรเป็นแหล่งที่มาของความผิดพลาดที่พบบ่อย

สูตรแรงบิดนำไปใช้ที่ไหน

สูตรแรงบิดใช้เมื่อวิศวกรและนักศึกษาฟิสิกส์ต้องการประมาณความเค้นเฉือนในเพลาหมุน เพลาขับ เพลาสว่าน ข้อต่อมอเตอร์ และชิ้นส่วนลักษณะคล้ายกันที่ทำหน้าที่ส่งแรงบิด

ในทางปฏิบัติ สูตรนี้ช่วยตอบคำถามด้านการออกแบบที่ตรงไปตรงมาว่า ขนาดหน้าตัดของเพลามากพอที่จะรับแรงบิดได้โดยไม่ทำให้ความเค้นเฉือนเกินค่าที่ยอมรับได้หรือไม่

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้เพลาเดิม แต่เพิ่มแรงบิดเป็นสองเท่า เนื่องจาก $\tau$ แปรผันตรงกับ $T$ ความเค้นเฉือนสูงสุดก็จะเพิ่มเป็นสองเท่าด้วย

ถ้าคุณอยากลองเปลี่ยนรัศมีหรือใช้เพลากลวง ให้ลองแก้โจทย์แรงบิดที่คล้ายกันใน GPAI Solver