Torsione — Tensione di taglio negli alberi

La formula della torsione permette di determinare la tensione di taglio all’interno di un albero circolare soggetto a una coppia torcente. Per un albero circolare in torsione elastica lineare, la tensione al raggio $r$ è

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

Qui $T$ è la coppia applicata e $J$ è il momento polare d’area. In queste condizioni, la tensione di taglio è nulla al centro e massima sulla superficie esterna.

Per la tensione di taglio massima, si pone $r = R$:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Questo risultato si usa per alberi circolari pieni e cavi quando il modello di torsione per alberi circolari è appropriato.

Quando si applica la formula della torsione

Usa $\tau = Tr/J$ quando l’elemento può essere modellato come un albero circolare in torsione elastica. Se la sezione trasversale non è circolare, questa distribuzione delle tensioni in generale non vale.

Questa condizione è importante. La formula non è una regola universale per ogni componente soggetto a torsione.

Cosa significano $T$, $r$, $R$ e $J$

• $T$: coppia applicata
• $r$: distanza dal centro dell’albero al punto di interesse
• $R$: raggio esterno dell’albero
• $J$: momento polare d’area della sezione trasversale

Per gli alberi circolari più comuni:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{per un albero circolare pieno}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{per un albero circolare cavo}$$

Perché la tensione aumenta allontanandosi dal centro

Un albero in torsione non è soggetto alla stessa azione di taglio in ogni punto. Il materiale più lontano dal centro deve percorrere una traiettoria circolare più ampia mentre l’albero si torce, quindi l’effetto di taglio cresce con il raggio.

Per questo la formula è proporzionale a $r$. La linea centrale ha $r = 0$, quindi lì la tensione di taglio è nulla. La superficie esterna ha il valore più grande di $r$, quindi sopporta la tensione di taglio massima.

Esempio svolto: tensione di taglio massima in un albero pieno

Supponi che un albero circolare pieno abbia raggio $R = 0.020\ \mathrm{m}$ e sia soggetto a una coppia $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$. Trova la tensione di taglio massima.

Per prima cosa calcola il momento polare d’area:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Ora usa la formula della tensione massima:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Quindi la tensione di taglio massima è

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

Questo esempio mostra chiaramente l’andamento principale. A parità di tipo di albero, una coppia maggiore aumenta la tensione, mentre un momento polare $J$ più grande la riduce.

Errori comuni con la formula della torsione

Usare la formula per la sezione sbagliata

$\tau = Tr/J$ è il risultato standard della torsione elastica per alberi circolari. Se la sezione non è circolare, oppure il materiale è fuori dal campo elastico ipotizzato, questa formula potrebbe non descrivere correttamente la tensione reale.

Confondere $J$ con $I$

$J$ è il momento d’area polare, non il momento d’inerzia dell’area $I$ usato nella normale flessione delle travi. Scambiarli porta a una risposta sbagliata.

Dimenticare che la tensione dipende dal raggio

La tensione non è uniforme in tutta la sezione dell’albero. Varia con $r$, quindi il valore al centro non è uguale al valore sulla superficie.

Perdere la coerenza delle unità

Se la coppia è in $\mathrm{N \cdot m}$, il raggio in $\mathrm{m}$ e $J$ in $\mathrm{m^4}$, allora la tensione risulta in $\mathrm{Pa}$. Mescolare millimetri e metri è una fonte comune di errore.

Dove si usa la formula della torsione

La formula della torsione si usa quando ingegneri e studenti di fisica devono stimare la tensione di taglio in alberi rotanti, semiassi, aste di perforazione, giunti per motori e componenti simili che trasmettono coppia.

In pratica, aiuta a rispondere a una semplice domanda di progetto: la geometria dell’albero è abbastanza grande da trasmettere la coppia senza superare una tensione di taglio ammissibile?

Prova un problema simile

Mantieni lo stesso albero, ma raddoppia la coppia. Poiché $\tau$ è proporzionale a $T$, anche la tensione di taglio massima raddoppia.

Se vuoi provare una tua variante con un raggio diverso o con un albero cavo, risolvi un problema simile di torsione in GPAI Solver.