Xoắn — Ứng suất cắt trong trục

Công thức xoắn cho biết ứng suất cắt bên trong một trục tròn đang truyền mô-men xoắn. Với trục tròn chịu xoắn trong miền đàn hồi tuyến tính, ứng suất tại bán kính $r$ là

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

Ở đây, $T$ là mô-men xoắn tác dụng và $J$ là mô-men quán tính cực của diện tích. Trong các điều kiện này, ứng suất cắt bằng không tại tâm và lớn nhất ở bề mặt ngoài.

Để tìm ứng suất cắt lớn nhất, đặt $r = R$:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Kết quả này được dùng cho trục tròn đặc và trục tròn rỗng khi mô hình xoắn của trục tròn là phù hợp.

Khi Nào Công Thức Xoắn Áp Dụng

Dùng $\tau = Tr/J$ khi cấu kiện có thể được mô hình hóa như một trục tròn chịu xoắn đàn hồi. Nếu tiết diện không tròn, phân bố ứng suất này nhìn chung sẽ không còn đúng.

Điều kiện đó rất quan trọng. Công thức này không phải là quy tắc chung cho mọi chi tiết bị xoắn.

Ý Nghĩa Của $T$, $r$, $R$ và $J$

• $T$: mô-men xoắn tác dụng
• $r$: khoảng cách từ tâm trục đến điểm đang xét
• $R$: bán kính ngoài của trục
• $J$: mô-men quán tính cực của diện tích tiết diện

Với các trục tròn thông dụng:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{cho trục tròn đặc}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{cho trục tròn rỗng}$$

Vì Sao Ứng Suất Tăng Khi Ra Xa Tâm

Một trục chịu xoắn không bị cắt đều ở mọi nơi. Vật liệu càng xa tâm thì phải dịch chuyển theo quỹ đạo tròn lớn hơn khi trục bị xoắn, nên hiệu ứng cắt tăng theo bán kính.

Đó là lý do công thức tỉ lệ với $r$. Đường tâm có $r = 0$, nên ứng suất cắt ở đó bằng không. Bề mặt ngoài có $r$ lớn nhất, nên chịu ứng suất cắt lớn nhất.

Ví Dụ Có Lời Giải: Ứng Suất Cắt Lớn Nhất Trong Trục Đặc

Giả sử một trục tròn đặc có bán kính $R = 0.020\ \mathrm{m}$ và chịu mô-men xoắn $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$. Hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất.

Trước hết tính mô-men quán tính cực của diện tích:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Bây giờ dùng công thức ứng suất lớn nhất:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Vậy ứng suất cắt lớn nhất là

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

Ví dụ này cho thấy quy luật chính rất rõ. Với cùng loại trục, mô-men xoắn lớn hơn làm ứng suất tăng, còn mô-men quán tính cực $J$ lớn hơn làm ứng suất giảm.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Dùng Công Thức Xoắn

Dùng Công Thức Cho Sai Tiết Diện

$\tau = Tr/J$ là kết quả xoắn đàn hồi tiêu chuẩn cho trục tròn. Nếu tiết diện không tròn, hoặc vật liệu nằm ngoài miền đàn hồi giả thiết, công thức này có thể không mô tả đúng ứng suất thực.

Nhầm Lẫn Giữa $J$ và $I$

$J$ là mô-men quán tính cực của diện tích, không phải mô-men quán tính diện tích $I$ dùng trong bài toán uốn dầm thông thường. Hoán đổi hai đại lượng này sẽ cho kết quả sai.

Quên Rằng Ứng Suất Phụ Thuộc Vào Bán Kính

Ứng suất không đồng đều trên toàn bộ tiết diện trục. Nó thay đổi theo $r$, nên giá trị ở tâm không giống giá trị ở bề mặt.

Không Giữ Đơn Vị Nhất Quán

Nếu mô-men xoắn tính bằng $\mathrm{N \cdot m}$, bán kính bằng $\mathrm{m}$, và $J$ bằng $\mathrm{m^4}$, thì ứng suất sẽ ra đơn vị $\mathrm{Pa}$. Trộn lẫn milimét và mét là một nguồn sai số rất thường gặp.

Công Thức Xoắn Được Dùng Ở Đâu

Công thức xoắn được dùng khi kỹ sư và sinh viên vật lý cần ước tính ứng suất cắt trong trục quay, bán trục truyền động, trục khoan, khớp nối động cơ và các chi tiết tương tự truyền mô-men xoắn.

Trong thực tế, nó giúp trả lời một câu hỏi thiết kế đơn giản: hình học của trục có đủ lớn để truyền mô-men xoắn mà không vượt quá ứng suất cắt cho phép hay không?

Thử Một Bài Tương Tự

Giữ nguyên trục đó nhưng tăng mô-men xoắn lên gấp đôi. Vì $\tau$ tỉ lệ với $T$, nên ứng suất cắt lớn nhất cũng tăng gấp đôi.

Nếu bạn muốn tự thử với bán kính khác hoặc với trục rỗng, hãy giải một bài toán xoắn tương tự trong GPAI Solver.