Torsion — contrainte de cisaillement dans les arbres

La formule de torsion donne la contrainte de cisaillement à l’intérieur d’un arbre circulaire soumis à un couple. Pour un arbre circulaire en torsion élastique linéaire, la contrainte au rayon $r$ est

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

Ici, $T$ est le couple appliqué et $J$ est le moment polaire d’aire. Dans ces conditions, la contrainte de cisaillement est nulle au centre et maximale à la surface extérieure.

Pour la contrainte de cisaillement maximale, on prend $r = R$ :

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Ce résultat s’utilise pour les arbres circulaires pleins et creux lorsque le modèle de torsion des arbres circulaires est adapté.

Quand la formule de torsion s’applique

Utilisez $\tau = Tr/J$ lorsque l’élément peut être modélisé comme un arbre circulaire en torsion élastique. Si la section n’est pas circulaire, cette répartition des contraintes n’est généralement plus valable.

Cette condition est importante. La formule n’est pas une règle universelle pour toutes les pièces soumises à la torsion.

Signification de $T$, $r$, $R$ et $J$

• $T$ : couple appliqué
• $r$ : distance entre le centre de l’arbre et le point étudié
• $R$ : rayon extérieur de l’arbre
• $J$ : moment polaire d’aire de la section

Pour les arbres circulaires courants :

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{pour un arbre circulaire plein}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{pour un arbre circulaire creux}$$

Pourquoi la contrainte augmente en s’éloignant du centre

Un arbre en torsion ne subit pas le même cisaillement partout. La matière située plus loin du centre doit parcourir une trajectoire circulaire plus grande lorsque l’arbre se tord, donc l’effet de cisaillement augmente avec le rayon.

C’est pourquoi la formule est proportionnelle à $r$. Sur l’axe central, on a $r = 0$, donc la contrainte de cisaillement y est nulle. À la surface extérieure, $r$ est maximal, donc la contrainte de cisaillement y est maximale.

Exemple résolu : contrainte de cisaillement maximale dans un arbre plein

Supposons qu’un arbre circulaire plein ait un rayon $R = 0.020\ \mathrm{m}$ et transmette un couple de $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$. Déterminez la contrainte de cisaillement maximale.

Calculez d’abord le moment polaire d’aire :

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Utilisez maintenant la forme pour la contrainte maximale :

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Donc, la contrainte de cisaillement maximale vaut

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

Cet exemple montre clairement la tendance principale. Pour un même type d’arbre, un couple plus grand augmente la contrainte, tandis qu’un moment polaire $J$ plus grand la diminue.

Erreurs fréquentes avec la formule de torsion

Utiliser la formule pour une mauvaise section

$\tau = Tr/J$ est le résultat standard de la torsion élastique pour les arbres circulaires. Si la section n’est pas circulaire, ou si le matériau est en dehors du domaine élastique supposé, cette formule peut ne pas décrire correctement la contrainte réelle.

Confondre $J$ et $I$

$J$ est le moment d’aire polaire, et non le moment quadratique $I$ utilisé dans la flexion ordinaire des poutres. Les intervertir donne une mauvaise réponse.

Oublier que la contrainte dépend du rayon

La contrainte n’est pas uniforme dans l’arbre. Elle varie avec $r$, donc la valeur au centre n’est pas la même qu’à la surface.

Perdre la cohérence des unités

Si le couple est en $\mathrm{N \cdot m}$, le rayon en $\mathrm{m}$ et $J$ en $\mathrm{m^4}$, alors la contrainte s’obtient en $\mathrm{Pa}$. Mélanger millimètres et mètres est une source d’erreur fréquente.

Où l’on utilise la formule de torsion

La formule de torsion est utilisée lorsque les ingénieurs et les étudiants en physique doivent estimer la contrainte de cisaillement dans des arbres en rotation, des essieux de transmission, des arbres de forage, des accouplements de moteur et des pièces similaires qui transmettent un couple.

En pratique, elle aide à répondre à une question simple de conception : la géométrie de l’arbre est-elle assez grande pour transmettre le couple sans dépasser une contrainte de cisaillement admissible ?

Essayez un problème similaire

Gardez le même arbre, mais doublez le couple. Comme $\tau$ est proportionnelle à $T$, la contrainte de cisaillement maximale double elle aussi.

Si vous voulez essayer votre propre version avec un rayon différent ou un arbre creux, résolvez un problème de torsion similaire dans GPAI Solver.