Yaygın 3 Boyutlu Şekillerin Hacim Formülleri

Yaygın 3 boyutlu şekiller için temel hacim formülleri şunlardır: prizmalar ve silindirler taban alanı çarpı yükseklik kuralını kullanır, piramitler ve koniler bunun üçte birini kullanır, küreler ise yarıçapa dayalı bir formülle bulunur. Bu yapıyı gördüğünüzde formülleri anlamak ve hatırlamak daha kolay olur.

Yaygın 3 Boyutlu Şekillerin Hacim Formülleri

Cisim	Hacim formülü	Bilmeniz gereken
Dikdörtgenler prizması	$V = lwh$	Uzunluk, genişlik ve yükseklik
Küp	$V = s^3$	Tüm ayrıtlar aynı uzunluktadır
Herhangi bir prizma	$V = Bh$	$B$ taban alanıdır
Silindir	$V = \pi r^2 h$	Taban daire olduğu için $Bh$ ile aynıdır
Herhangi bir piramit	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	Aynı taban ve yüksekliğe sahip prizmanın üçte biri
Koni	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	Aynı taban ve yüksekliğe sahip silindirin üçte biri
Küre	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	Yükseklik değil, yarıçap kullanılır

Piramitler ve koniler için $h$, dik yüksekliği ifade eder. Soruda bunun yerine eğik yükseklik verilirse, bu değer hacim formülünde doğrudan kullanılmaz.

Hacim Formüllerinin Çoğu Neden Aynı Deseni İzler?

En basit fikir şudur:

$$V = Bh$$

Burada $B$ taban alanını, $h$ ise bu tabandan dik olarak ölçülen yüksekliği gösterir.

Bu tek desen, birkaç formülü aynı anda açıklar. Dikdörtgenler prizmasında taban dikdörtgendir, bu yüzden $B = lw$ olur ve formül $V = lwh$ haline gelir. Silindirde taban dairedir, bu yüzden $B = \pi r^2$ olur ve formül $V = \pi r^2 h$ haline gelir.

Piramitler ve koniler de aynı taban ve yükseklik fikrini kullanır, ancak eşleşen prizma veya silindirin hacminin yalnızca üçte biri kadar hacme sahiptir:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Küre, taban çarpı yükseklik desenine uymayan en yaygın cisimlerden biridir. Bu yüzden formülünü ayrıca ezberlemek faydalıdır.

Çözümlü Örnek: Bir Koninin Hacmini Bulma

Yarıçapı $3$ cm ve yüksekliği $8$ cm olan bir koninin hacmini bulun.

Koni formülünü kullanın:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Değerleri yerine yazın:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Sadeleştirin:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

Buna göre hacim $24\pi\ \text{cm}^3$ olur; bu da yaklaşık $75.4\ \text{cm}^3$ eder.

Bu örnek faydalıdır çünkü aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip eşleşen silindirin hacmi $72\pi\ \text{cm}^3$ olurdu. Koni bunun tam olarak üçte biridir; bu da iyi bir kontrol yöntemidir.

Hacim Formüllerinde Sık Yapılan Hatalar

1. Formül yarıçap beklerken çap kullanmak. Eğer size $d$ verilmişse, önce $r = \frac{d}{2}$ ile dönüştürün.
2. Koni veya piramitte eğik yüksekliği kullanmak. Hacimde dik yükseklik kullanılır.
3. Yüzey alanı ile hacmi karıştırmak. Hacim, cismin içinde ne kadar yer olduğunu söyler; dış yüzeyi ne kadar kapladığını değil.
4. Kübik birimleri unutmak. Hacim $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ veya $\text{in}^3$ gibi birimlerle yazılmalıdır.
5. $B$'yi taban alanı yerine bir kenar uzunluğu sanmak. $V = Bh$ ifadesinde $B$ zaten bir alandır.

Hacim Formülleri Ne Zaman Kullanılır?

Hacim formülleri, 3 boyutlu bir cismin kapasitesini veya iç büyüklüğünü bulmanız gerektiğinde kullanılır. Derste bu genellikle geometri soruları anlamına gelir. Ders dışında da aynı fikir, bir kutunun ne kadar alacağını, bir tankın ne kadar sıvı alacağını veya bir kabı ne kadar malzemenin dolduracağını tahmin ederken karşınıza çıkar.

Burada koşul önemlidir: formül, şekil modelinin doğruluğu kadar doğrudur. Gerçek bir nesne yalnızca yaklaşık olarak silindirik ya da küreselse, sonuç da yaklaşık olur.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

Yarıçapı $4$ birim ve yüksekliği $10$ birim olan bir silindir seçin, sonra hacmini bulun. Ardından aynı taban ve yüksekliği koruyup şekli koniye çevirin. Bu iki cevabı yan yana görmek, formülleri kalıcı hale getirmenin en hızlı yollarından biridir.