よくある立体の体積の公式

よくある立体の体積公式には、角柱や円柱では底面積×高さ、角錐や円錐ではその $\frac{1}{3}$、球では半径を使う公式があります。この共通した構造が見えると、公式は理解しやすく、覚えやすくなります。

よくある立体の体積の公式

立体	体積の公式	知っておくこと
直方体	$V = lwh$	縦、横、高さを使う
立方体	$V = s^3$	すべての辺の長さが同じ
任意の角柱	$V = Bh$	$B$ は底面積
円柱	$V = \pi r^2 h$	底面が円なので $Bh$ と同じ考え方
任意の角錐	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	同じ底面と高さをもつ角柱の $\frac\{1\}\{3\}$
円錐	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	同じ底面と高さをもつ円柱の $\frac\{1\}\{3\}$
球	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	高さではなく半径を使う

角錐や円錐では、$h$ は垂直な高さを表します。問題で母線が与えられていても、その値を体積の公式にそのまま入れることはできません。

多くの体積公式が同じ形に従う理由

最も基本となる考え方は次の式です。

$$V = Bh$$

ここで、$B$ は底面積、$h$ はその底面からまっすぐ測った高さです。

この1つの形で、いくつもの公式をまとめて説明できます。直方体では底面が長方形なので $B = lw$ となり、公式は $V = lwh$ になります。円柱では底面が円なので $B = \pi r^2$ となり、公式は $V = \pi r^2 h$ になります。

角錐や円錐も、底面と高さという考え方は同じですが、対応する角柱や円柱の体積の $\frac{1}{3}$ になります。

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

球は、底面積×高さという形に当てはまらない代表的な立体です。そのため、球の公式は別に覚えておく価値があります。

計算例：円錐の体積を求める

半径 $3$ cm、高さ $8$ cm の円錐の体積を求めます。

円錐の公式を使います。

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

値を代入します。

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

整理すると、

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

したがって、体積は $24\pi\ \text{cm}^3$、およそ $75.4\ \text{cm}^3$ です。

この例が役立つのは、同じ半径と高さをもつ円柱の体積が $72\pi\ \text{cm}^3$ になるからです。円錐はそのちょうど $\frac{1}{3}$ なので、計算結果を確かめるよいチェックになります。

体積公式でよくある間違い

1. 公式が半径を使うのに、直径をそのまま使ってしまうこと。$d$ が与えられているなら、まず $r = \frac{d}{2}$ に直します。
2. 円錐や角錐で母線を使ってしまうこと。体積で使うのは垂直な高さです。
3. 表面積と体積を混同すること。体積は中にどれだけ空間があるかを表し、外側をおおう面積ではありません。
4. 立方単位を書き忘れること。体積は $\text{cm}^3$、$\text{m}^3$、$\text{in}^3$ のように書く必要があります。
5. $B$ を辺の長さだと思ってしまうこと。$V = Bh$ の $B$ は、すでに面積です。

体積公式を使う場面

体積公式は、立体の容量や内部の大きさを知りたいときに使います。授業では主に図形の問題で使います。授業以外でも、箱にどれだけ入るか、水槽にどれだけ液体が入るか、容器にどれだけ材料が入るかを見積もるときに同じ考え方が使われます。

ただし、形の条件は大切です。公式が正確なのは、その物体をその立体としてみなせる場合だけです。実際の物体が円柱や球に近いだけなら、求めた値も近似になります。

自分でもやってみよう

半径 $4$、高さ $10$ の円柱を1つ選び、体積を求めてみましょう。そのあと、底面と高さは同じままで円錐に変えてみてください。2つの答えを並べて比べると、公式がとても定着しやすくなります。