Công thức tính thể tích các khối 3D phổ biến

Dưới đây là các công thức thể tích chính cho những khối 3D phổ biến: lăng trụ và hình trụ dùng diện tích đáy nhân với chiều cao, hình chóp và hình nón bằng một phần ba theo quy luật đó, còn hình cầu dùng công thức theo bán kính. Khi bạn nhìn ra cấu trúc này, các công thức sẽ dễ hiểu và dễ nhớ hơn.

Công thức tính thể tích các khối 3D phổ biến

Khối hình	Công thức thể tích	Điều cần biết
Hình hộp chữ nhật	$V = lwh$	Chiều dài, chiều rộng và chiều cao
Hình lập phương	$V = s^3$	Mọi cạnh đều có cùng độ dài
Mọi lăng trụ	$V = Bh$	$B$ là diện tích đáy
Hình trụ	$V = \pi r^2 h$	Giống $Bh$ vì đáy là hình tròn
Mọi hình chóp	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	Bằng một phần ba lăng trụ có cùng đáy và chiều cao
Hình nón	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	Bằng một phần ba hình trụ có cùng đáy và chiều cao
Hình cầu	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	Dùng bán kính, không dùng chiều cao

Với hình chóp và hình nón, $h$ là chiều cao vuông góc. Nếu đề bài cho đường cao nghiêng, thì số đó không được thay trực tiếp vào công thức thể tích.

Vì sao hầu hết công thức thể tích theo cùng một quy luật

Ý tưởng đơn giản nhất là:

$$V = Bh$$

Ở đây, $B$ là diện tích đáy, còn $h$ là chiều cao đo vuông góc từ đáy lên.

Chỉ với một quy luật này, bạn có thể giải thích nhiều công thức cùng lúc. Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nên $B = lw$ và công thức trở thành $V = lwh$. Hình trụ có đáy là hình tròn nên $B = \pi r^2$ và công thức trở thành $V = \pi r^2 h$.

Hình chóp và hình nón cũng dùng cùng ý tưởng về đáy và chiều cao, nhưng thể tích chỉ bằng một phần ba so với lăng trụ hoặc hình trụ tương ứng:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Hình cầu là khối phổ biến chính không theo quy luật diện tích đáy nhân chiều cao, nên công thức của nó đáng để ghi nhớ riêng.

Ví dụ mẫu: Tính thể tích hình nón

Tính thể tích của một hình nón có bán kính $3$ cm và chiều cao $8$ cm.

Dùng công thức hình nón:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Thay các giá trị vào:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Rút gọn:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

Vậy thể tích là $24\pi\ \text{cm}^3$, xấp xỉ $75.4\ \text{cm}^3$.

Ví dụ này hữu ích vì hình trụ tương ứng có cùng bán kính và chiều cao sẽ có thể tích $72\pi\ \text{cm}^3$. Hình nón đúng bằng một phần ba giá trị đó, nên đây là một cách kiểm tra rất tiện.

Những lỗi thường gặp khi dùng công thức thể tích

1. Dùng đường kính trong khi công thức cần bán kính. Nếu đề cho $d$, hãy đổi trước bằng $r = \frac{d}{2}$.
2. Dùng đường cao nghiêng cho hình nón hoặc hình chóp. Thể tích dùng chiều cao vuông góc.
3. Nhầm giữa diện tích bề mặt và thể tích. Thể tích trả lời có bao nhiêu không gian bên trong, không phải phần bao phủ bên ngoài.
4. Quên đơn vị khối. Thể tích nên được viết bằng các đơn vị như $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ hoặc $\text{in}^3$.
5. Hiểu $B$ là độ dài một cạnh thay vì diện tích đáy. Trong $V = Bh$, $B$ đã là một diện tích.

Khi nào dùng công thức thể tích

Công thức thể tích được dùng khi bạn cần biết sức chứa hoặc kích thước bên trong của một vật thể 3D. Trong lớp học, điều đó thường xuất hiện trong các bài toán hình học. Ngoài lớp học, ý tưởng này cũng xuất hiện khi ước lượng một chiếc hộp chứa được bao nhiêu, một bể chứa được bao nhiêu chất lỏng, hoặc cần bao nhiêu vật liệu để lấp đầy một thùng chứa.

Điều kiện của bài toán cũng quan trọng: công thức chỉ chính xác đến mức mô hình hình học của vật thể chính xác. Nếu một vật thật chỉ gần đúng là hình trụ hoặc hình cầu, thì kết quả cũng chỉ là gần đúng.

Tự thử một phiên bản của bạn

Hãy chọn một hình trụ có bán kính $4$ đơn vị và chiều cao $10$ đơn vị, rồi tính thể tích. Sau đó, giữ nguyên đáy và chiều cao nhưng đổi sang hình nón. Đặt hai đáp án cạnh nhau là một trong những cách nhanh nhất để ghi nhớ các công thức.