旋转曲面的表面积

要计算旋转曲面的表面积，可以把图像绕某条轴旋转后形成的许多很薄的弯曲带状面加总起来。对于绕 $x$ 轴旋转的图像 $y=f(x)$，每一条薄带贡献的是“周长乘以一个很小的斜向长度”，而不只是“周长乘以 $dx$”。

对于区间 $[a,b]$ 上的可导函数 $y=f(x)$，若它绕 $x$ 轴旋转，并且在该区间上满足 $f(x) \ge 0$，则其曲面表面积为

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

这个公式只给出曲面部分的面积，不包括两端平的圆形端盖。

为什么这个公式成立

因子 $2\pi f(x)$ 是高度为 $f(x)$ 处一个很薄圆环带的周长。如果曲线完全水平，那么用这个周长乘以一个很小的水平宽度 $dx$，结果会比较接近真实面积。

但倾斜的曲线形成的带状面长度会比单纯的 $dx$ 更长。这就是为什么公式中要用到弧长微元

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

所以本质上的建立方式是

$$S = \int 2\pi(\text{半径})\,ds$$

对于绕 $x$ 轴旋转，半径就是 $f(x)$。如果绕的是其他轴，那么半径应改为曲线到该旋转轴的距离。

旋转曲面表面积例题

求由

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

绕 $x$ 轴旋转所形成的表面积。

先写出公式

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

这里 $f(x)=x$，所以

$$f'(x)=1$$

并且

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

代入积分得

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

把常数提出积分号外

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

现在积分

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

所以

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

这就是曲面部分的表面积。这个例子形成的是一个圆锥，因此答案也与圆锥侧面积公式 $S=\pi rl$ 一致，其中 $r=1$，斜高 $l=\sqrt{2}$。

使用公式时的常见错误

1. 把体积公式误当成表面积公式。表面积公式包含一个半径因子和一个弧长项，而不是像体积积分那样在积分中出现半径平方。
2. 忘记平方根因子。没有 $\sqrt{1+[f'(x)]^2}$，就没有把曲线的斜率影响计算进去。
3. 半径取错。绕 $x$ 轴时，半径是到该轴的竖直距离；绕 $y$ 轴时，半径会改变。
4. 忽略区间上的条件。如果曲线穿过旋转轴，就必须把半径看成“距离”，而不是带符号的函数值。
5. 把曲面面积和总表面积混淆。有些应用题还要加上端盖面积，但这里的标准微积分公式不包括端盖。

什么时候会用到旋转曲面的表面积

当一个形状是由一条轮廓曲线绕轴旋转形成时，就会用到旋转曲面的表面积，比如喷嘴壁、碗的侧面、储罐外壁，或光滑的装饰造型。在微积分课程中，它也很重要，因为它把几何、弧长和积分联系在同一个问题中。

只有当曲线的表示方式和旋转轴的选择与公式设定相匹配时，这个公式才能直接这样使用。如果改为绕另一条轴旋转，或者把曲线写成 $x=g(y)$，那么半径和微分项也要随之改变。

快速建立积分的检查清单

在开始积分前，先问自己两个问题：

1. 从曲线到旋转轴的半径是多少？
2. 对于我所使用的变量，正确的弧长因子是什么？

如果这两部分都写对了，剩下的通常就是代数化简和积分计算。

试试类似的问题

保持同一条直线 $y=x$，但把区间改成 $0 \le x \le 2$。先写出半径和弧长因子，再建立积分，看看更大的区间会怎样改变最终的表面积。