Pole powierzchni bryły obrotowej

Aby wyznaczyć pole powierzchni bryły obrotowej, sumuje się cienkie zakrzywione paski powstające, gdy wykres obraca się wokół osi. Dla wykresu $y=f(x)$ obracanego wokół osi $x$ każdy taki pasek wnosi obwód pomnożony przez małą ukośną długość, a nie tylko obwód razy $dx$.

Dla różniczkowalnej funkcji $y=f(x)$ na $[a,b]$, obracanej wokół osi $x$, przy $f(x) \ge 0$ na tym przedziale, pole powierzchni bocznej wynosi

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Ten wzór daje tylko pole powierzchni zakrzywionej. Nie uwzględnia płaskich kołowych podstaw na końcach.

Dlaczego ten wzór działa

Czynnik $2\pi f(x)$ to obwód cienkiego kołowego paska na wysokości $f(x)$. Gdyby krzywa była idealnie pozioma, pomnożenie tego obwodu przez małą poziomą szerokość $dx$ prawie by wystarczyło.

Ale nachylona krzywa tworzy dłuższy pasek niż samo $dx$. Dlatego we wzorze pojawia się element długości łuku

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Zatem cały zapis to naprawdę

$$S = \int 2\pi(\text{promień})\,ds$$

Przy obrocie wokół osi $x$ promieniem jest $f(x)$. Jeśli obracasz wokół innej osi, promień musi być odległością do tej osi.

Przykład pola powierzchni bryły obrotowej

Wyznacz pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

wokół osi $x$.

Zacznij od wzoru

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Tutaj $f(x)=x$, więc

$$f'(x)=1$$

oraz

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Podstaw do całki

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Wyłącz stałą przed znak całki

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Teraz oblicz całkę

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Zatem

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

To jest pole powierzchni zakrzywionej. W tym przykładzie powstaje stożek, więc wynik zgadza się też ze wzorem na pole powierzchni bocznej stożka $S=\pi rl$ dla $r=1$ i tworzącej $l=\sqrt{2}$.

Typowe błędy przy stosowaniu wzoru

1. Używanie wzoru na objętość zamiast wzoru na pole powierzchni. Pole powierzchni wykorzystuje jeden czynnik promienia i wyrażenie z długością łuku, a nie kwadrat promienia wewnątrz całki na objętość.
2. Pomijanie czynnika z pierwiastkiem. Bez $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$ nie uwzględniasz nachylenia krzywej.
3. Użycie niewłaściwego promienia. Wokół osi $x$ promień jest pionową odległością do osi. Wokół osi $y$ jest inny.
4. Ignorowanie warunku na przedziale. Jeśli krzywa przecina oś, trzeba ostrożnie traktować promień jako odległość, a nie wartość ze znakiem.
5. Mylenie pola powierzchni zakrzywionej z całkowitym polem powierzchni. W niektórych zadaniach praktycznych dolicza się też podstawy, ale standardowy wzór z analizy matematycznej tego nie robi.

Kiedy używa się pola powierzchni bryły obrotowej

Pole powierzchni bryły obrotowej pojawia się wtedy, gdy kształt powstaje przez obrót krzywej tworzącej, na przykład ścianki dyszy, misy, boku zbiornika albo gładkiej formy dekoracyjnej. Na zajęciach z analizy matematycznej jest też ważne, bo łączy geometrię, długość łuku i całkowanie w jednym schemacie.

Wzór działa w tej postaci tylko wtedy, gdy opis krzywej i wybór osi pasują do danego ustawienia. Jeśli obracasz wokół innej osi albo zapisujesz krzywą jako $x=g(y)$, promień i różniczka muszą się odpowiednio zmienić.

Krótka lista kontrolna do ustawienia całki

Przed całkowaniem zadaj sobie dwa pytania:

1. Jaki jest promień od krzywej do osi?
2. Jaki jest poprawny czynnik długości łuku dla zmiennej, której używam?

Jeśli te dwa elementy są poprawne, reszta zwykle sprowadza się do algebry i całkowania.

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj tę samą prostą $y=x$, ale zmień przedział na $0 \le x \le 2$. Najpierw zapisz promień i czynnik długości łuku, a potem ustaw całkę i zobacz, jak większy przedział zmienia końcowe pole.