พื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน

การหาพื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน คือการรวมแถบผิวโค้งบาง ๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อกราฟหมุนรอบแกน สำหรับกราฟ $y=f(x)$ ที่หมุนรอบแกน $x$ แต่ละแถบจะให้ค่าเป็นเส้นรอบวงคูณกับความยาวเอียงเล็ก ๆ ไม่ใช่แค่เส้นรอบวงคูณ $dx$

สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ $y=f(x)$ บนช่วง $[a,b]$ เมื่อหมุนรอบแกน $x$ และมี $f(x) \ge 0$ ตลอดช่วงนั้น พื้นที่ผิวโค้งคือ

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

สูตรนี้ให้เฉพาะพื้นที่ผิวโค้งเท่านั้น ไม่รวมฐานวงกลมแบนที่ปลายทั้งสองด้าน

ทำไมสูตรนี้จึงใช้ได้

พจน์ $2\pi f(x)$ คือเส้นรอบวงของแถบวงกลมบาง ๆ ที่ระดับความสูง $f(x)$ ถ้าเส้นโค้งเป็นแนวนอนพอดี การนำเส้นรอบวงนี้คูณกับความกว้างแนวนอนเล็ก ๆ $dx$ ก็จะเกือบถูกต้อง

แต่ถ้าเส้นโค้งเอียง แถบที่เกิดขึ้นจะยาวกว่า $dx$ เพียงอย่างเดียว นั่นจึงเป็นเหตุผลที่สูตรใช้ส่วนของความยาวส่วนโค้ง

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

ดังนั้นการตั้งจริง ๆ คือ

$$S = \int 2\pi(\text{radius})\,ds$$

สำหรับการหมุนรอบแกน $x$ รัศมีคือ $f(x)$ แต่ถ้าหมุนรอบแกนอื่น รัศมีต้องเปลี่ยนเป็นระยะจากเส้นโค้งถึงแกนนั้นแทน

ตัวอย่างพื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน

จงหาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุน

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

รอบแกน $x$

เริ่มจากสูตร

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

ในที่นี้ $f(x)=x$ ดังนั้น

$$f'(x)=1$$

และ

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

แทนค่าลงในอินทิกรัล

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

ดึงค่าคงที่ออกมา

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

จากนั้นอินทิเกรต

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

ดังนั้น

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

นี่คือพื้นที่ผิวโค้ง ตัวอย่างนี้ให้รูปทรงกรวย ดังนั้นคำตอบจึงสอดคล้องกับสูตรพื้นที่ผิวข้างของกรวย $S=\pi rl$ โดยมี $r=1$ และความยาวเอียง $l=\sqrt{2}$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรนี้

1. ใช้สูตรปริมาตรแทนสูตรพื้นที่ผิว พื้นที่ผิวใช้รัศมีหนึ่งตัวและมีพจน์ความยาวส่วนโค้ง ไม่ใช่รัศมียกกำลังสองในอินทิกรัลของปริมาตร
2. ลืมพจน์รากที่สอง หากไม่มี $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$ ก็แปลว่ายังไม่ได้คำนึงถึงความชันของเส้นโค้ง
3. ใช้รัศมีผิด เมื่อหมุนรอบแกน $x$ รัศมีคือระยะแนวตั้งถึงแกน แต่ถ้าหมุนรอบแกน $y$ รัศมีจะเปลี่ยนไป
4. มองข้ามเงื่อนไขบนช่วง ถ้าเส้นโค้งตัดแกน ต้องระวังว่ารัศมีคือระยะทาง ไม่ใช่ค่าที่มีเครื่องหมาย
5. สับสนระหว่างพื้นที่ผิวโค้งกับพื้นที่ผิวทั้งหมด โจทย์ประยุกต์บางข้ออาจรวมฐานที่ปลายด้วย แต่สูตรแคลคูลัสมาตรฐานในที่นี้ไม่รวม

พื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนใช้เมื่อใด

พื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนพบได้เมื่อสร้างรูปทรงจากการหมุนเส้นโพรไฟล์ เช่น ผนังหัวฉีด ชาม ด้านข้างของถัง หรือรูปทรงตกแต่งที่เรียบลื่น ในวิชาแคลคูลัส หัวข้อนี้สำคัญเพราะเชื่อมโยงเรขาคณิต ความยาวส่วนโค้ง และอินทิกรัลเข้าด้วยกัน

สูตรนี้จะใช้ได้ตามที่เขียนไว้ก็ต่อเมื่อรูปแบบของเส้นโค้งและแกนที่เลือกสอดคล้องกับการตั้งโจทย์ ถ้าหมุนรอบแกนอื่น หรือเขียนเส้นโค้งเป็น $x=g(y)$ แทน รัศมีและดิฟเฟอเรนเชียลก็ต้องเปลี่ยนตามไปด้วย

เช็กลิสต์สั้น ๆ ก่อนตั้งอินทิกรัล

ก่อนอินทิเกรต ให้ถามตัวเองสองข้อ:

1. รัศมีจากเส้นโค้งถึงแกนคืออะไร?
2. พจน์ความยาวส่วนโค้งที่ถูกต้องสำหรับตัวแปรที่ใช้อยู่คืออะไร?

ถ้าสองส่วนนี้ถูกต้อง ที่เหลือก็มักเป็นเรื่องของพีชคณิตและการอินทิเกรต

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้เส้นตรงเดิม $y=x$ แต่เปลี่ยนช่วงเป็น $0 \le x \le 2$ เขียนรัศมีและพจน์ความยาวส่วนโค้งก่อน จากนั้นตั้งอินทิกรัลแล้วดูว่าช่วงที่ยาวขึ้นทำให้พื้นที่สุดท้ายเปลี่ยนไปอย่างไร