Área de superfície de revolução

Para encontrar a área de superfície de revolução, você soma faixas curvas finas formadas quando um gráfico gira em torno de um eixo. Para um gráfico $y=f(x)$ girado em torno do eixo $x$, cada faixa contribui com circunferência vezes um pequeno comprimento inclinado, e não apenas circunferência vezes $dx$.

Para uma função diferenciável $y=f(x)$ em $[a,b]$, girada em torno do eixo $x$, com $f(x) \ge 0$ nesse intervalo, a área da superfície curva é

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Essa fórmula fornece apenas a área da superfície curva. Ela não inclui tampas circulares planas nas extremidades.

Por que a fórmula funciona

O fator $2\pi f(x)$ é a circunferência de uma faixa circular fina na altura $f(x)$. Se a curva fosse perfeitamente horizontal, multiplicar essa circunferência por uma pequena largura horizontal $dx$ quase funcionaria.

Mas uma curva inclinada cria uma faixa mais longa do que apenas $dx$. Por isso a fórmula usa a parte de comprimento de arco

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Então, na verdade, a montagem é

$$S = \int 2\pi(\text{raio})\,ds$$

Para rotação em torno do eixo $x$, o raio é $f(x)$. Se você girar em torno de outro eixo, o raio deve ser a distância até esse eixo.

Exemplo de área de superfície de revolução

Encontre a área de superfície formada ao girar

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

em torno do eixo $x$.

Comece com a fórmula

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Aqui, $f(x)=x$, então

$$f'(x)=1$$

e

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Substitua na integral

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Coloque a constante para fora

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Agora integre

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Logo,

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

Essa é a área da superfície curva. Este exemplo forma um cone, então a resposta também coincide com a fórmula da área lateral do cone $S=\pi rl$ com $r=1$ e geratriz $l=\sqrt{2}$.

Erros comuns com a fórmula

1. Usar uma fórmula de volume em vez de uma fórmula de área de superfície. Área de superfície usa um fator de raio e um termo de comprimento de arco, não um raio ao quadrado dentro de uma integral de volume.
2. Esquecer o fator com raiz quadrada. Sem $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$, você não está levando em conta a inclinação da curva.
3. Usar o raio errado. Em torno do eixo $x$, o raio é a distância vertical até o eixo. Em torno do eixo $y$, isso muda.
4. Ignorar a condição no intervalo. Se a curva cruza o eixo, você precisa pensar com cuidado no raio como distância, e não como valor com sinal.
5. Confundir área da superfície curva com área total da superfície. Alguns problemas aplicados também incluem tampas nas extremidades, mas a fórmula padrão de cálculo aqui não inclui isso.

Quando a área de superfície de revolução é usada

A área de superfície de revolução aparece quando uma forma é criada ao girar uma curva de perfil, como a parede de um bocal, uma tigela, a lateral de um tanque ou uma forma decorativa suave. Nas aulas de cálculo, ela também é importante porque conecta geometria, comprimento de arco e integração em uma única montagem.

A fórmula só funciona como está escrita quando a descrição da curva e a escolha do eixo combinam com a montagem. Se você girar em torno de outro eixo ou escrever a curva como $x=g(y)$, o raio e o diferencial precisam mudar junto.

Uma lista rápida para montar a integral

Antes de integrar, faça duas perguntas:

1. Qual é o raio da curva até o eixo?
2. Qual é o fator correto de comprimento de arco para a variável que estou usando?

Se essas duas partes estiverem corretas, o resto normalmente é álgebra e integração.

Tente um problema parecido

Mantenha a mesma reta $y=x$, mas mude o intervalo para $0 \le x \le 2$. Escreva primeiro o raio e o fator de comprimento de arco, depois monte a integral e veja como o intervalo maior altera a área final.