Dönel Yüzey Alanı

Bir dönel yüzeyin alanını bulmak için, bir grafik bir eksen etrafında dönerken oluşan ince eğrisel şeritlerin alanlarını toplarsınız. $x$-ekseni etrafında döndürülen $y=f(x)$ grafiğinde her şerit, sadece çevre ile $dx$'in çarpımı kadar değil, çevre ile çok küçük bir eğik uzunluğun çarpımı kadar katkı yapar.

$[a,b]$ aralığında tanımlı türevlenebilir bir $y=f(x)$ fonksiyonu $x$-ekseni etrafında döndürülüyorsa ve bu aralıkta $f(x) \ge 0$ ise, eğrisel yüzey alanı

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

şeklindedir.

Bu formül yalnızca eğrisel yüzey alanını verir. Düz dairesel kapakları içermez.

Formül neden çalışır?

$2\pi f(x)$ çarpanı, yüksekliği $f(x)$ olan ince bir dairesel şeridin çevresidir. Eğri tamamen yatay olsaydı, bu çevreyi küçük bir yatay genişlik olan $dx$ ile çarpmak neredeyse yeterli olurdu.

Ama eğik bir eğri, yalnızca $dx$'ten daha uzun bir şerit oluşturur. Bu yüzden formülde şu yay uzunluğu parçası kullanılır:

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Yani kurulum aslında

$$S = \int 2\pi(\text{yarıçap})\,ds$$

şeklindedir.

$x$-ekseni etrafında dönmede yarıçap $f(x)$ olur. Farklı bir eksen etrafında dönüyorsanız, yarıçap o eksene olan uzaklık olmalıdır.

Dönel yüzey alanı örneği

Aşağıdaki eğri

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

$x$-ekseni etrafında döndürüldüğünde oluşan yüzey alanını bulun.

Formülle başlayalım:

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Burada $f(x)=x$ olduğundan

$$f'(x)=1$$

ve

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Bunları integrale yerleştirelim:

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Sabiti dışarı alalım:

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Şimdi integrali hesaplayalım:

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Dolayısıyla

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

Bu, eğrisel yüzey alanıdır. Bu örnek bir koni oluşturur; dolayısıyla sonuç, $r=1$ ve eğik yükseklik $l=\sqrt{2}$ için koninin yanal alan formülü $S=\pi rl$ ile de uyumludur.

Formülle ilgili yaygın hatalar

1. Yüzey alanı formülü yerine hacim formülü kullanmak. Yüzey alanında yarıçapın bir çarpanı ve bir yay uzunluğu terimi vardır; hacim integralindeki gibi yarıçapın karesi kullanılmaz.
2. Karekök çarpanını unutmak. $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$ olmadan eğrinin eğimini hesaba katmış olmazsınız.
3. Yanlış yarıçap kullanmak. $x$-ekseni etrafında yarıçap, eksene olan düşey uzaklıktır. $y$-ekseni etrafında bu değişir.
4. Aralıktaki koşulu göz ardı etmek. Eğri ekseni kesiyorsa, yarıçapı işaretli değer olarak değil uzaklık olarak dikkatle düşünmeniz gerekir.
5. Eğrisel yüzey alanı ile toplam yüzey alanını karıştırmak. Bazı uygulamalı sorularda uç kapaklar da dahil edilir, ama buradaki standart kalkülüs formülü onları içermez.

Dönel yüzey alanı ne zaman kullanılır?

Dönel yüzey alanı, bir profil eğrisinin döndürülmesiyle oluşan şekillerde karşınıza çıkar; örneğin bir nozul duvarı, bir kâse, bir tankın yan yüzeyi ya da düzgün dekoratif bir form gibi. Kalkülüs derslerinde de önemlidir çünkü geometriyi, yay uzunluğunu ve integrali tek bir kurulumda birleştirir.

Formül, yalnızca eğrinin veriliş biçimi ile eksen seçimi kurulumla uyumluysa bu haliyle çalışır. Farklı bir eksen etrafında dönüyorsanız ya da eğriyi bunun yerine $x=g(y)$ olarak yazıyorsanız, yarıçap ve diferansiyel de buna göre değişmelidir.

Hızlı bir kurulum kontrol listesi

İntegrale başlamadan önce şu iki soruyu sorun:

1. Eğriden eksene olan yarıçap nedir?
2. Kullandığım değişken için doğru yay uzunluğu çarpanı nedir?

Bu iki parça doğruysa, gerisi genellikle cebir ve integral hesabıdır.

Benzer bir soru deneyin

Aynı $y=x$ doğrusunu koruyun, ama aralığı $0 \le x \le 2$ olarak değiştirin. Önce yarıçapı ve yay uzunluğu çarpanını yazın, sonra integrali kurup daha büyük aralığın son alanı nasıl değiştirdiğine bakın.