Luas Permukaan Benda Putar

Untuk mencari luas permukaan benda putar, kita menjumlahkan pita-pita lengkung tipis yang terbentuk saat sebuah grafik diputar mengelilingi suatu sumbu. Untuk grafik $y=f(x)$ yang diputar terhadap sumbu $x$, setiap pita menyumbang keliling dikali panjang miring kecil, bukan hanya keliling dikali $dx$.

Untuk fungsi terdiferensialkan $y=f(x)$ pada $[a,b]$, yang diputar terhadap sumbu $x$, dengan $f(x) \ge 0$ pada interval tersebut, luas permukaan lengkungnya adalah

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Rumus ini hanya memberikan luas permukaan lengkung. Rumus ini tidak mencakup tutup ujung lingkaran yang datar.

Mengapa rumus ini bekerja

Faktor $2\pi f(x)$ adalah keliling dari pita lingkaran tipis pada tinggi $f(x)$. Jika kurvanya benar-benar horizontal, mengalikan keliling itu dengan lebar horizontal kecil $dx$ hampir akan berhasil.

Namun, kurva yang miring menghasilkan pita yang lebih panjang daripada hanya $dx$. Itulah sebabnya rumus ini menggunakan bagian panjang busur

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Jadi bentuk dasarnya sebenarnya adalah

$$S = \int 2\pi(\text{jari-jari})\,ds$$

Untuk putaran terhadap sumbu $x$, jari-jarinya adalah $f(x)$. Jika Anda memutar terhadap sumbu lain, jari-jari harus berupa jarak ke sumbu tersebut.

Contoh luas permukaan benda putar

Carilah luas permukaan yang terbentuk dengan memutar

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

terhadap sumbu $x$.

Mulai dengan rumus

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Di sini $f(x)=x$, sehingga

$$f'(x)=1$$

dan

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Substitusikan ke dalam integral

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Keluarkan konstanta ke luar integral

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Sekarang integralkan

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Jadi

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

Itulah luas permukaan lengkungnya. Contoh ini membentuk kerucut, jadi jawabannya juga sesuai dengan rumus luas selimut kerucut $S=\pi rl$ dengan $r=1$ dan garis pelukis $l=\sqrt{2}$.

Kesalahan umum dalam menggunakan rumus

1. Menggunakan rumus volume alih-alih rumus luas permukaan. Luas permukaan memakai satu faktor jari-jari dan suku panjang busur, bukan jari-jari kuadrat di dalam integral volume.
2. Lupa faktor akar kuadrat. Tanpa $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$, Anda tidak memperhitungkan kemiringan kurva.
3. Menggunakan jari-jari yang salah. Untuk putaran terhadap sumbu $x$, jari-jari adalah jarak vertikal ke sumbu. Untuk putaran terhadap sumbu $y$, nilainya berubah.
4. Mengabaikan syarat pada interval. Jika kurva memotong sumbu, Anda perlu memikirkan jari-jari sebagai jarak, bukan nilai bertanda.
5. Mencampuradukkan luas permukaan lengkung dengan luas permukaan total. Beberapa soal terapan juga memasukkan tutup ujung, tetapi rumus kalkulus standar di sini tidak.

Kapan luas permukaan benda putar digunakan

Luas permukaan benda putar muncul saat suatu bentuk dibuat dengan memutar kurva profil, seperti dinding nosel, mangkuk, sisi tangki, atau bentuk dekoratif yang halus. Dalam kelas kalkulus, konsep ini juga penting karena menghubungkan geometri, panjang busur, dan integral dalam satu susunan.

Rumus ini hanya bekerja seperti yang ditulis jika deskripsi kurva dan pilihan sumbu sesuai dengan susunannya. Jika Anda memutar terhadap sumbu lain atau menulis kurva sebagai $x=g(y)$, maka jari-jari dan diferensialnya juga harus berubah menyesuaikan.

Daftar periksa singkat saat menyusun

Sebelum mengintegralkan, ajukan dua pertanyaan:

1. Berapa jari-jari dari kurva ke sumbu?
2. Apa faktor panjang busur yang benar untuk variabel yang saya gunakan?

Jika dua bagian itu benar, sisanya biasanya hanya aljabar dan integrasi.

Coba soal serupa

Gunakan garis yang sama $y=x$, tetapi ubah intervalnya menjadi $0 \le x \le 2$. Tulis dulu jari-jari dan faktor panjang busurnya, lalu susun integralnya dan lihat bagaimana interval yang lebih besar mengubah luas akhirnya.