Εμβαδό επιφάνειας εκ περιστροφής

Για να βρεις το εμβαδό επιφάνειας εκ περιστροφής, αθροίζεις λεπτές καμπύλες λωρίδες που σχηματίζονται όταν μια γραφική παράσταση περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. Για μια γραφική παράσταση $y=f(x)$ που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα $x$, κάθε λωρίδα συνεισφέρει περιφέρεια επί ένα πολύ μικρό λοξό μήκος, όχι απλώς περιφέρεια επί $dx$.

Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $y=f(x)$ στο $[a,b]$, που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα $x$, με $f(x) \ge 0$ σε αυτό το διάστημα, το εμβαδό της καμπύλης επιφάνειας είναι

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Αυτός ο τύπος δίνει μόνο το εμβαδό της καμπύλης επιφάνειας. Δεν περιλαμβάνει τα επίπεδα κυκλικά καπάκια στα άκρα.

Γιατί λειτουργεί ο τύπος

Ο παράγοντας $2\pi f(x)$ είναι η περιφέρεια μιας λεπτής κυκλικής λωρίδας στο ύψος $f(x)$. Αν η καμπύλη ήταν τελείως οριζόντια, ο πολλαπλασιασμός αυτής της περιφέρειας με ένα μικρό οριζόντιο πλάτος $dx$ θα ήταν σχεδόν σωστός.

Όμως μια λοξή καμπύλη δημιουργεί μια μεγαλύτερη λωρίδα από ό,τι το $dx$ μόνο του. Γι’ αυτό ο τύπος χρησιμοποιεί το στοιχείο μήκους τόξου

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Άρα η διάταξη είναι στην πραγματικότητα

$$S = \int 2\pi(\text{ακτίνα})\,ds$$

Για περιστροφή γύρω από τον άξονα $x$, η ακτίνα είναι $f(x)$. Αν περιστρέφεις γύρω από διαφορετικό άξονα, τότε η ακτίνα πρέπει να είναι η απόσταση από εκείνον τον άξονα.

Παράδειγμα εμβαδού επιφάνειας εκ περιστροφής

Να βρεθεί το εμβαδό επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή της

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

γύρω από τον άξονα $x$.

Ξεκινάμε με τον τύπο

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Εδώ $f(x)=x$, άρα

$$f'(x)=1$$

και

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Βγάζουμε τη σταθερά έξω

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Τώρα ολοκληρώνουμε

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Άρα

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

Αυτό είναι το εμβαδό της καμπύλης επιφάνειας. Αυτό το παράδειγμα σχηματίζει κώνο, οπότε η απάντηση συμφωνεί και με τον τύπο του πλευρικού εμβαδού κώνου $S=\pi rl$ με $r=1$ και παράπλευρο ύψος $l=\sqrt{2}$.

Συνηθισμένα λάθη με τον τύπο

1. Χρήση τύπου όγκου αντί για τύπο εμβαδού επιφάνειας. Το εμβαδό επιφάνειας χρησιμοποιεί έναν παράγοντα ακτίνας και έναν όρο μήκους τόξου, όχι τετράγωνο της ακτίνας μέσα σε ολοκλήρωμα όγκου.
2. Παράλειψη του παράγοντα τετραγωνικής ρίζας. Χωρίς το $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$, δεν λαμβάνεις υπόψη την κλίση της καμπύλης.
3. Χρήση λανθασμένης ακτίνας. Γύρω από τον άξονα $x$, η ακτίνα είναι η κατακόρυφη απόσταση από τον άξονα. Γύρω από τον άξονα $y$, αλλάζει.
4. Παράβλεψη της συνθήκης στο διάστημα. Αν η καμπύλη τέμνει τον άξονα, πρέπει να σκεφτείς προσεκτικά την ακτίνα ως απόσταση και όχι ως προσημασμένη τιμή.
5. Σύγχυση ανάμεσα στο εμβαδό της καμπύλης επιφάνειας και στο ολικό εμβαδό επιφάνειας. Σε ορισμένα εφαρμοσμένα προβλήματα περιλαμβάνονται και τα καπάκια στα άκρα, αλλά ο τυπικός τύπος του λογισμού εδώ δεν τα περιλαμβάνει.

Πότε χρησιμοποιείται το εμβαδό επιφάνειας εκ περιστροφής

Το εμβαδό επιφάνειας εκ περιστροφής εμφανίζεται όταν ένα σχήμα δημιουργείται από την περιστροφή μιας καμπύλης προφίλ, όπως το τοίχωμα ενός ακροφυσίου, ένα μπολ, το πλάι μιας δεξαμενής ή μια λεία διακοσμητική μορφή. Στα μαθήματα λογισμού είναι επίσης σημαντικό, επειδή συνδέει τη γεωμετρία, το μήκος τόξου και το ολοκλήρωμα σε μία ενιαία διάταξη.

Ο τύπος λειτουργεί όπως είναι γραμμένος μόνο όταν η περιγραφή της καμπύλης και η επιλογή του άξονα ταιριάζουν με τη διάταξη. Αν περιστρέφεις γύρω από διαφορετικό άξονα ή αν γράφεις την καμπύλη ως $x=g(y)$, τότε η ακτίνα και το διαφορικό πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.

Μια γρήγορη λίστα ελέγχου για τη διάταξη

Πριν ολοκληρώσεις, κάνε δύο ερωτήσεις:

1. Ποια είναι η ακτίνα από την καμπύλη μέχρι τον άξονα;
2. Ποιος είναι ο σωστός παράγοντας μήκους τόξου για τη μεταβλητή που χρησιμοποιώ;

Αν αυτά τα δύο μέρη είναι σωστά, τα υπόλοιπα είναι συνήθως άλγεβρα και ολοκλήρωση.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Κράτησε την ίδια ευθεία $y=x$, αλλά άλλαξε το διάστημα σε $0 \le x \le 2$. Γράψε πρώτα την ακτίνα και τον παράγοντα μήκους τόξου, έπειτα στήσε το ολοκλήρωμα και δες πώς το μεγαλύτερο διάστημα αλλάζει το τελικό εμβαδό.