Oberfläche eines Rotationskörpers

Um die Oberfläche eines Rotationskörpers zu bestimmen, addiert man dünne gekrümmte Streifen, die entstehen, wenn sich ein Graph um eine Achse dreht. Für einen Graphen $y=f(x)$, der um die $x$-Achse rotiert, liefert jeder Streifen Umfang mal eine kleine schräge Länge, nicht einfach Umfang mal $dx$.

Für eine differenzierbare Funktion $y=f(x)$ auf $[a,b]$, die um die $x$-Achse rotiert wird, mit $f(x) \ge 0$ auf diesem Intervall, ist die gekrümmte Oberfläche

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Diese Formel liefert nur die gekrümmte Mantelfläche. Flache kreisförmige Endflächen sind nicht enthalten.

Warum die Formel funktioniert

Der Faktor $2\pi f(x)$ ist der Umfang eines dünnen Kreisstreifens in der Höhe $f(x)$. Wäre die Kurve vollkommen horizontal, dann würde es fast genügen, diesen Umfang mit einer kleinen horizontalen Breite $dx$ zu multiplizieren.

Aber eine schräge Kurve erzeugt einen längeren Streifen als nur $dx$. Deshalb verwendet die Formel das Bogenlängenelement

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Der Ansatz ist also eigentlich

$$S = \int 2\pi(\text{Radius})\,ds$$

Bei Rotation um die $x$-Achse ist der Radius $f(x)$. Wenn du um eine andere Achse rotierst, muss der Radius stattdessen der Abstand zu dieser Achse sein.

Beispiel zur Oberfläche eines Rotationskörpers

Bestimme die Oberfläche, die entsteht, wenn

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

um die $x$-Achse rotiert wird.

Beginne mit der Formel

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Hier ist $f(x)=x$, also

$$f'(x)=1$$

und

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Setze in das Integral ein

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Ziehe die Konstante vor das Integral

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Nun integriere

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Also gilt

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

Das ist die gekrümmte Oberfläche. In diesem Beispiel entsteht ein Kegel, daher stimmt das Ergebnis auch mit der Mantelflächenformel des Kegels $S=\pi rl$ überein, mit $r=1$ und der Mantellinie $l=\sqrt{2}$.

Häufige Fehler bei der Formel

1. Eine Volumenformel statt einer Oberflächenformel zu verwenden. Für die Oberfläche braucht man einen Radiusfaktor und einen Bogenlängenterm, nicht einen quadrierten Radius in einem Volumenintegral.
2. Den Wurzelfaktor zu vergessen. Ohne $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$ wird die Steigung der Kurve nicht berücksichtigt.
3. Den falschen Radius zu verwenden. Um die $x$-Achse ist der Radius der vertikale Abstand zur Achse. Um die $y$-Achse ändert sich das.
4. Die Bedingung auf dem Intervall zu ignorieren. Wenn die Kurve die Achse schneidet, musst du den Radius als Abstand und nicht als vorzeichenbehafteten Wert betrachten.
5. Gekrümmte Oberfläche mit gesamter Oberfläche zu verwechseln. In manchen Anwendungsaufgaben gehören auch Endflächen dazu, aber die Standardformel der Analysis hier enthält sie nicht.

Wann die Oberfläche eines Rotationskörpers verwendet wird

Die Oberfläche eines Rotationskörpers tritt auf, wenn eine Form durch Rotation einer Profilkurve entsteht, etwa bei einer Düsenwand, einer Schüssel, der Seitenwand eines Tanks oder einer glatten dekorativen Form. Im Analysisunterricht ist sie auch wichtig, weil sie Geometrie, Bogenlänge und Integration in einem einzigen Ansatz verbindet.

Die Formel funktioniert nur in dieser Form, wenn die Beschreibung der Kurve und die Wahl der Achse zum Ansatz passen. Wenn du um eine andere Achse rotierst oder die Kurve stattdessen als $x=g(y)$ schreibst, müssen Radius und Differential entsprechend angepasst werden.

Eine kurze Checkliste zum Aufstellen

Stelle dir vor dem Integrieren zwei Fragen:

1. Wie groß ist der Radius von der Kurve zur Achse?
2. Welcher Bogenlängenfaktor ist für die verwendete Variable richtig?

Wenn diese beiden Teile stimmen, ist der Rest meist Algebra und Integration.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Behalte dieselbe Gerade $y=x$, aber ändere das Intervall zu $0 \le x \le 2$. Schreibe zuerst den Radius und den Bogenlängenfaktor auf, stelle dann das Integral auf und sieh dir an, wie das größere Intervall die endgültige Fläche verändert.