회전체의 겉넓이

회전체의 겉넓이를 구할 때는 그래프가 축을 중심으로 회전하면서 만들어 내는 아주 얇은 곡면 띠들을 모두 더한다고 생각하면 됩니다. 그래프 $y=f(x)$를 $x$축 둘레로 회전시키면, 각 띠는 단순히 원둘레에 $dx$를 곱하는 것이 아니라 원둘레에 아주 작은 기울어진 길이를 곱한 만큼의 넓이를 만듭니다.

구간 $[a,b]$에서 미분 가능한 함수 $y=f(x)$를 $x$축 둘레로 회전시키고, 그 구간에서 $f(x) \ge 0$이면 곡면의 넓이는

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

입니다.

이 공식은 곡면의 넓이만 구해 줍니다. 양 끝의 평평한 원형 덮개는 포함하지 않습니다.

공식이 성립하는 이유

인수 $2\pi f(x)$는 높이 $f(x)$에서 생기는 얇은 원형 띠의 원둘레입니다. 만약 곡선이 완전히 수평이라면, 그 원둘레에 작은 수평 길이 $dx$를 곱하는 방식이 거의 맞습니다.

하지만 기울어진 곡선은 $dx$만으로는 설명되지 않는 더 긴 띠를 만듭니다. 그래서 공식에는 다음과 같은 호의 길이 요소가 들어갑니다.

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

따라서 실제 설정은

$$S = \int 2\pi(\text{반지름})\,ds$$

입니다.

$x$축 둘레로 회전할 때 반지름은 $f(x)$입니다. 다른 축을 기준으로 회전한다면, 반지름은 그 축까지의 거리로 바뀌어야 합니다.

회전체의 겉넓이 예제

다음을 회전시켜 생기는 겉넓이를 구해 봅시다.

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

이를 $x$축 둘레로 회전합니다.

먼저 공식을 씁니다.

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

여기서 $f(x)=x$이므로

$$f'(x)=1$$

이고,

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

입니다.

이를 적분식에 대입하면

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

상수를 밖으로 빼면

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

이제 적분하면

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

따라서

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

입니다.

이 값이 바로 곡면의 넓이입니다. 이 예제는 원뿔을 만들기 때문에, 답은 원뿔의 옆넓이 공식 $S=\pi rl$에서 $r=1$, 모선의 길이 $l=\sqrt{2}$를 넣은 값과도 일치합니다.

공식에서 자주 하는 실수

1. 겉넓이 공식 대신 부피 공식을 사용하는 경우. 겉넓이는 반지름이 한 번만 들어가고 호의 길이 항이 필요하며, 부피 적분처럼 반지름의 제곱이 들어가지 않습니다.
2. 제곱근 인수를 빼먹는 경우. $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$가 없으면 곡선의 기울기를 반영하지 못합니다.
3. 반지름을 잘못 잡는 경우. $x$축 둘레에서는 반지름이 축까지의 세로 거리이고, $y$축 둘레에서는 달라집니다.
4. 구간에서의 조건을 무시하는 경우. 곡선이 축을 가로지르면, 부호 있는 값이 아니라 거리로서의 반지름을 신중하게 생각해야 합니다.
5. 곡면의 넓이와 전체 겉넓이를 혼동하는 경우. 응용 문제에서는 양 끝의 덮개까지 포함하기도 하지만, 여기의 표준 미적분 공식은 그것을 포함하지 않습니다.

회전체의 겉넓이가 쓰이는 경우

회전체의 겉넓이는 노즐 벽, 그릇, 탱크의 옆면, 매끄러운 장식 형태처럼 어떤 윤곽선을 회전시켜 물체를 만들 때 등장합니다. 미적분에서는 기하, 호의 길이, 적분이 하나의 설정 안에서 연결된다는 점에서도 중요합니다.

이 공식은 곡선의 표현 방식과 회전축이 현재 설정과 맞을 때만 그대로 사용할 수 있습니다. 예를 들어 다른 축 둘레로 회전하거나 곡선을 $x=g(y)$로 나타내면, 반지름과 미분 요소도 그에 맞게 바뀌어야 합니다.

빠른 설정 체크리스트

적분하기 전에 두 가지를 확인하세요.

1. 곡선에서 축까지의 반지름은 무엇인가?
2. 내가 쓰는 변수에 맞는 올바른 호의 길이 인수는 무엇인가?

이 두 가지가 맞으면, 나머지는 보통 대수 계산과 적분입니다.

비슷한 문제에 도전해 보기

같은 직선 $y=x$를 유지하되, 구간을 $0 \le x \le 2$로 바꿔 보세요. 먼저 반지름과 호의 길이 인수를 쓰고, 그다음 적분식을 세워서 구간이 커지면 최종 넓이가 어떻게 달라지는지 확인해 보세요.