Diện tích mặt tròn xoay

Để tìm diện tích mặt tròn xoay, ta cộng các dải cong mỏng được tạo ra khi một đồ thị quay quanh một trục. Với đồ thị $y=f(x)$ quay quanh trục $x$, mỗi dải đóng góp chu vi nhân với một độ dài nghiêng rất nhỏ, chứ không chỉ là chu vi nhân với $dx$.

Với hàm khả vi $y=f(x)$ trên $[a,b]$, quay quanh trục $x$, và $f(x) \ge 0$ trên khoảng đó, diện tích mặt cong là

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Công thức này chỉ cho diện tích mặt cong. Nó không bao gồm các nắp tròn phẳng ở hai đầu.

Vì sao công thức đúng

Thừa số $2\pi f(x)$ là chu vi của một dải tròn mỏng tại độ cao $f(x)$. Nếu đường cong hoàn toàn nằm ngang, thì lấy chu vi đó nhân với một bề rộng ngang nhỏ $dx$ gần như sẽ đúng.

Nhưng một đường cong nghiêng tạo ra một dải dài hơn chỉ riêng $dx$. Đó là lý do công thức dùng phần độ dài cung

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Vì vậy cách thiết lập thực sự là

$$S = \int 2\pi(\text{bán kính})\,ds$$

Khi quay quanh trục $x$, bán kính là $f(x)$. Nếu quay quanh một trục khác, thì bán kính phải là khoảng cách đến trục đó.

Ví dụ về diện tích mặt tròn xoay

Tìm diện tích mặt tạo thành khi quay

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

quanh trục $x$.

Bắt đầu với công thức

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Ở đây $f(x)=x$, nên

$$f'(x)=1$$

và

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

Thay vào tích phân

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

Đưa hằng số ra ngoài

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

Bây giờ tính tích phân

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Vậy

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

Đó là diện tích mặt cong. Ví dụ này tạo thành một hình nón, nên đáp án cũng khớp với công thức diện tích xung quanh hình nón $S=\pi rl$ với $r=1$ và đường sinh $l=\sqrt{2}$.

Những lỗi thường gặp với công thức

1. Dùng công thức thể tích thay vì công thức diện tích bề mặt. Diện tích bề mặt dùng một thừa số bán kính và một hạng độ dài cung, không phải bán kính bình phương trong tích phân thể tích.
2. Quên thừa số căn bậc hai. Nếu thiếu $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$, bạn chưa tính đến độ dốc của đường cong.
3. Dùng sai bán kính. Quanh trục $x$, bán kính là khoảng cách theo phương thẳng đứng đến trục. Quanh trục $y$, nó sẽ thay đổi.
4. Bỏ qua điều kiện trên khoảng xét. Nếu đường cong cắt trục, bạn cần cẩn thận xem bán kính là khoảng cách, không phải giá trị có dấu.
5. Nhầm giữa diện tích mặt cong và tổng diện tích bề mặt. Một số bài toán ứng dụng còn tính cả các nắp ở hai đầu, nhưng công thức giải tích chuẩn ở đây thì không.

Khi nào dùng diện tích mặt tròn xoay

Diện tích mặt tròn xoay xuất hiện khi một hình được tạo ra bằng cách quay một đường cong biên dạng, chẳng hạn như thành vòi phun, cái bát, mặt bên bồn chứa, hoặc một dạng trang trí trơn. Trong các lớp giải tích, nó cũng quan trọng vì kết nối hình học, độ dài cung và tích phân trong cùng một thiết lập.

Công thức chỉ dùng đúng như đã viết khi cách mô tả đường cong và lựa chọn trục phù hợp với thiết lập. Nếu bạn quay quanh một trục khác hoặc viết đường cong dưới dạng $x=g(y)$, thì bán kính và vi phân cũng phải thay đổi theo.

Danh sách kiểm tra nhanh khi lập tích phân

Trước khi tính tích phân, hãy tự hỏi hai câu:

1. Bán kính từ đường cong đến trục là bao nhiêu?
2. Thừa số độ dài cung đúng cho biến tôi đang dùng là gì?

Nếu hai phần đó đúng, phần còn lại thường chỉ là đại số và tính tích phân.

Thử một bài tương tự

Giữ nguyên đường thẳng $y=x$, nhưng đổi khoảng thành $0 \le x \le 2$. Hãy viết bán kính và thừa số độ dài cung trước, rồi lập tích phân và xem khoảng lớn hơn làm thay đổi diện tích cuối cùng như thế nào.