Aire de surface de révolution

Pour trouver l’aire de surface de révolution, on additionne de fines bandes courbes formées lorsqu’un graphe tourne autour d’un axe. Pour un graphe $y=f(x)$ tourné autour de l’axe des $x$, chaque bande apporte une circonférence multipliée par une toute petite longueur inclinée, et non simplement une circonférence multipliée par $dx$.

Pour une fonction dérivable $y=f(x)$ sur $[a,b]$, tournée autour de l’axe des $x$, avec $f(x) \ge 0$ sur cet intervalle, l’aire de la surface courbe est

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Cette formule donne uniquement l’aire de la surface courbe. Elle n’inclut pas les bases circulaires plates aux extrémités.

Pourquoi la formule fonctionne

Le facteur $2\pi f(x)$ est la circonférence d’une fine bande circulaire à la hauteur $f(x)$. Si la courbe était parfaitement horizontale, multiplier cette circonférence par une petite largeur horizontale $dx$ fonctionnerait presque.

Mais une courbe inclinée crée une bande plus longue que $dx$ seul. C’est pourquoi la formule utilise l’élément de longueur d’arc

$$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Ainsi, la mise en place est en réalité

$$S = \int 2\pi(\text{rayon})\,ds$$

Pour une rotation autour de l’axe des $x$, le rayon est $f(x)$. Si vous tournez autour d’un autre axe, le rayon doit être la distance à cet axe.

Exemple d’aire de surface de révolution

Trouver l’aire de la surface formée en faisant tourner

$$y=x,\quad 0 \le x \le 1$$

autour de l’axe des $x$.

On part de la formule

$$S = 2\pi \int_0^1 f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

Ici, $f(x)=x$, donc

$$f'(x)=1$$

et

$$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$$

On remplace dans l’intégrale

$$S = 2\pi \int_0^1 x\sqrt{2}\,dx$$

On sort la constante

$$S = 2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx$$

On intègre maintenant

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Donc

$$S = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\pi\sqrt{2}$$

C’est l’aire de la surface courbe. Cet exemple forme un cône, donc la réponse coïncide aussi avec la formule de l’aire latérale du cône $S=\pi rl$ avec $r=1$ et une génératrice $l=\sqrt{2}$.

Erreurs fréquentes avec la formule

1. Utiliser une formule de volume au lieu d’une formule d’aire de surface. L’aire de surface utilise un seul facteur de rayon et un terme de longueur d’arc, pas un rayon au carré dans une intégrale de volume.
2. Oublier le facteur sous la racine. Sans $\\sqrt{1+[f'(x)]^2}$, vous ne tenez pas compte de la pente de la courbe.
3. Utiliser le mauvais rayon. Autour de l’axe des $x$, le rayon est la distance verticale à l’axe. Autour de l’axe des $y$, il change.
4. Ignorer la condition sur l’intervalle. Si la courbe coupe l’axe, il faut bien réfléchir au rayon comme distance, et non comme valeur signée.
5. Confondre aire de la surface courbe et aire totale. Dans certains problèmes appliqués, on ajoute aussi les bases, mais la formule standard de calcul intégral ici ne les inclut pas.

Quand l’aire de surface de révolution est utilisée

L’aire de surface de révolution apparaît lorsqu’une forme est obtenue en faisant tourner une courbe de profil, comme la paroi d’une buse, un bol, le côté d’un réservoir ou une forme décorative lisse. En cours de calcul intégral, elle est aussi importante parce qu’elle relie géométrie, longueur d’arc et intégration dans une même mise en place.

La formule ne fonctionne telle quelle que lorsque la description de la courbe et le choix de l’axe correspondent à la situation. Si vous tournez autour d’un autre axe ou si vous écrivez la courbe sous la forme $x=g(y)$, le rayon et le différentiel doivent changer en conséquence.

Une petite liste de vérification

Avant d’intégrer, posez-vous deux questions :

1. Quel est le rayon entre la courbe et l’axe ?
2. Quel est le bon facteur de longueur d’arc pour la variable que j’utilise ?

Si ces deux éléments sont corrects, le reste relève généralement de l’algèbre et de l’intégration.

Essayez un problème similaire

Gardez la même droite $y=x$, mais changez l’intervalle en $0 \le x \le 2$. Écrivez d’abord le rayon et le facteur de longueur d’arc, puis posez l’intégrale et voyez comment l’intervalle plus grand modifie l’aire finale.