最小公倍数（LCM）- 求法与例题

最小公倍数，简称 LCM，是两个或多个正整数共同拥有的最小正倍数。比如，$6$ 和 $8$ 的最小公倍数是 $24$，因为 $24$ 同时是这两个数的倍数，而且不存在更小的正数满足这个条件。

这个概念通常会用在通分、重复周期安排，以及判断两个规律何时再次重合这类问题中。

什么是 LCM

$6$ 的倍数是所有形如 $6k$ 的数，其中 $k$ 是正整数：$6, 12, 18, 24, \dots$

$8$ 的倍数是所有形如 $8k$ 的数：$8, 16, 24, 32, \dots$

两个列表中第一个同时出现的正数是 $24$，所以：

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

还要记住一个容易混淆的对比：

• 因数可以整除一个数。
• 倍数是把一个数乘出来得到的。

LCM 讨论的是倍数，不是因数。

求最小公倍数的三种可靠方法

1. 列举倍数

这种方法很适合较小的数。

对于 $4$ 和 $10$：

• $4$ 的倍数：$4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• $10$ 的倍数：$10, 20, 30, \dots$

第一个公倍数是 $20$，所以最小公倍数是 $20$。

2. 用质因数分解

对于较大的正整数，这通常是最清晰的方法。

先把每个数写成质数乘积的形式，然后把出现过的每个质因数都保留，并对每个质因数取出现过的最大指数。

3. 利用与 GCD 的关系

对于两个正整数 $a$ 和 $b$，

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

如果你已经知道最大公因数，这种方法会很高效。这里的条件很重要：这个公式适用于正整数。

例题：求 $12$ 和 $18$ 的最小公倍数

用质因数分解：

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

构造最小公倍数时，对每个质因数保留较大的指数：

• 对于 $2$，较大的指数是 $2$
• 对于 $3$，较大的指数是 $2$

所以：

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

直接检验一下：

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

所以 $36$ 是一个公倍数。质因数分解法得到的是最小的那个，因为它恰好使用了同时包含这两个数所需的质因数幂。

LCM 在什么时候使用

当题目要求共同周期或共同分母时，LCM 就很有用。

一个常见例子是分数相加：

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

分母 $6$ 和 $8$ 的最小公倍数是 $24$，所以 $24$ 是一个方便的公分母：

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

然后：

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

当两个重复事件分别每隔 $m$ 和 $n$ 个单位发生一次，而你想知道它们第一次同时发生的时间时，也要用到 LCM。

常见错误

把 LCM 和 GCD 混淆

如果题目问的是最小的公倍数，就用 LCM；如果问的是最大的公因数，就用 GCD。

找到一个公倍数就停下，但它不是最小的

对于 $6$ 和 $8$，$24$ 和 $48$ 都是公倍数，但只有 $24$ 是最小公倍数。

没有先做质因数分解就直接套用规则

“取较大指数”这个规则，必须在把正整数写成质因数分解之后才能使用。

快速检查

求出最小公倍数后，检查两件事：

1. 你的答案能被原来的每个数整除吗？
2. 是否存在更小的正公倍数？

对于质因数分解法来说，第二个检查通常已经包含在方法本身里了。

自己试一试

试着用两种方法求 $15$ 和 $20$ 的最小公倍数：列举倍数法和质因数分解法。如果你想对较大的数做二次检查，可以用数学求解工具来验证分解结果和最后的公倍数。