插值——线性插值、多项式插值与拉格朗日方法

插值是指在已知数据点之间估计一个数值。如果你想求的 $x$ 值位于已有数据范围之内，插值就能帮助你估计对应缺失的 $y$ 值。

最简单的情况是线性插值，它在两个点之间使用一条直线。多项式插值则使用一个能精确通过多个点的多项式。拉格朗日插值是在已知 $x$ 值互不相同时，写出这个多项式的一种标准公式。

如果未知的 $x$ 落在已知范围之外，那么你做的就是外推。这是另一类问题，而且通常没有插值可靠。

线性插值公式

设你已知两点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$，其中 $x_0 \ne x_1$。当 $x$ 位于 $x_0$ 与 $x_1$ 之间时，线性插值使用

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

它的原理是：先计算从 $x_0$ 到 $x$ 的水平距离占从 $x_0$ 到 $x_1$ 的几分之几，再把同样的比例应用到从 $y_0$ 到 $y_1$ 的竖直变化上。如果真实关系在这个区间内本来就是线性的，那么结果就是精确的；否则它只是一个局部估计。

线性插值例子

假设已知点是 $(1, 3)$ 和 $(4, 15)$，你想求 $x = 2$ 时的值。

使用线性插值公式：

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

现在化简：

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

所以插值得到的值是 $y = 7$。这很合理，因为 $x = 2$ 在从 $1$ 到 $4$ 的路程中正好走了三分之一，所以输出值也会从 $3$ 到 $15$ 前进三分之一。

多项式插值：精确通过多个点

如果你有两个以上且 $x$ 值互不相同的点，多项式插值会寻找一个能通过所有这些点的多项式。对于 $n+1$ 个 $x$ 值互不相同的点，恰好存在一个次数不超过 $n$ 的多项式与它们完全匹配。

例如，两个点最多确定一条直线，三个点最多确定一个二次多项式，四个点最多确定一个三次多项式。当你想要一个既平滑又能精确匹配采样值的公式时，这种方法很有用。

但代价是，精确拟合并不总意味着点与点之间的表现也好。当点很多，或者点之间间隔较大时，高次插值多项式可能会出现明显振荡，尤其是在区间两端附近。

拉格朗日插值公式

拉格朗日插值是一种直接写出插值多项式的方法。如果你有点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$，且各个 $x_i$ 互不相同，那么拉格朗日形式为

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

其中

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

每个基多项式 $L_i(x)$ 都被构造为：在 $x_i$ 处等于 $1$，在其他已知的 $x$ 值处等于 $0$。正因为如此，这个求和式才能在每个数据点上保留正确的 $y_i$。

当你想根据一小组点得到一个精确的插值多项式时，通常会使用拉格朗日形式。它在概念上很清晰，但在更大的数值计算问题中，人们往往更偏好其他形式，因为它们计算起来更稳定。

插值与外推

插值是在已知 $x$ 值范围内进行估计。外推则是把估计延伸到这个范围之外。

这个区别很重要，因为插值依托于附近的已知数据。若底层规律在观测区间之外发生变化，外推就可能很快失效。

常见的插值错误

在数据范围之外使用插值

如果 $x$ 落在已知区间之外，那么这个计算就不再是插值，而变成了外推，而外推通常可靠性更低。

误以为精确拟合就等于真实精确

一个多项式可以精确通过测量得到的数据点，但它在这些点之间仍可能不是现实情况的好模型，尤其是在数据含有噪声时。

忘记 $x$ 值必须互不相同

对于标准插值公式，已知的 $x$ 值必须互不相同。如果两个数据点有相同的 $x$，却对应不同的 $y$，那么同一个函数不可能同时通过这两个点。

过快选择高次数

把所有数据点都放进一个高次多项式中，可能会导致不稳定的表现。实际中，当点很多时，通常更倾向于使用样条等分段方法。

插值的应用场景

插值出现在数值分析、计算机图形学、查表、信号处理和科学计算中。只要你知道若干选定点上的数值，却需要中间位置的合理估计，插值就会很有用。

在初等数学课程中，它也把斜率、函数、多项式和近似这些概念联系到了一起：利用已知结构去估计中间的未知值。

试做一道类似的插值题

取点 $(2, 4)$ 和 $(8, 19)$，用线性插值估计 $x = 5$ 时的值。然后思考：在这个区间上，用一条直线来估计是否合理。

如果你想在自己列式后快速核对，可以在求解器里试试你自己的版本，并把得到的直线方程与你的结果进行比较。