Interpolasi — Metode Linear, Polinomial & Lagrange

Interpolasi berarti memperkirakan suatu nilai di antara titik-titik data yang sudah diketahui. Jika nilai $x$ yang Anda cari berada di dalam rentang data yang sudah Anda ketahui, interpolasi memberi cara untuk memperkirakan nilai $y$ yang belum diketahui.

Kasus paling sederhana adalah interpolasi linear, yang menggunakan garis lurus di antara dua titik. Interpolasi polinomial menggunakan satu polinom yang melalui beberapa titik secara tepat. Interpolasi Lagrange adalah rumus standar untuk menuliskan polinom tersebut ketika nilai-nilai $x$ yang diketahui saling berbeda.

Jika $x$ yang tidak diketahui berada di luar rentang yang diketahui, maka yang Anda lakukan adalah ekstrapolasi. Itu adalah tugas yang berbeda dan biasanya kurang andal.

Rumus Interpolasi Linear

Misalkan Anda mengetahui titik $(x_0, y_0)$ dan $(x_1, y_1)$ dengan $x_0 \ne x_1$. Untuk suatu $x$ di antara $x_0$ dan $x_1$, interpolasi linear menggunakan

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Cara kerjanya adalah dengan mengambil fraksi jarak horizontal dari $x_0$ ke $x$ lalu menerapkan fraksi yang sama pada perubahan vertikal dari $y_0$ ke $y_1$. Hasilnya tepat jika hubungan sebenarnya bersifat linear pada interval tersebut; jika tidak, hasilnya adalah perkiraan lokal.

Contoh Interpolasi Linear

Misalkan titik yang diketahui adalah $(1, 3)$ dan $(4, 15)$, dan Anda ingin mencari nilai saat $x = 2$.

Gunakan rumus interpolasi linear:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Sekarang sederhanakan:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Jadi nilai hasil interpolasi adalah $y = 7$. Ini masuk akal karena $x = 2$ berada sepertiga jalan dari $1$ ke $4$, sehingga keluarannya juga bergerak sepertiga jalan dari $3$ ke $15$.

Interpolasi Polinomial Berarti Kecocokan Tepat Melalui Beberapa Titik

Jika Anda memiliki lebih dari dua titik dengan nilai $x$ yang saling berbeda, interpolasi polinomial mencari satu polinom yang melalui semuanya. Untuk $n+1$ titik dengan nilai $x$ yang berbeda, ada tepat satu polinom berderajat paling tinggi $n$ yang cocok dengan titik-titik tersebut.

Sebagai contoh, dua titik menentukan sebuah garis, tiga titik menentukan paling tinggi sebuah kuadrat, dan empat titik menentukan paling tinggi sebuah kubik. Ini berguna ketika Anda menginginkan rumus halus yang cocok tepat dengan nilai-nilai sampel.

Konsekuensinya, kecocokan tepat tidak selalu berarti perilaku yang baik di antara titik-titik. Dengan banyak titik atau titik-titik yang berjauhan, polinom interpolasi berderajat tinggi bisa berosilasi besar, terutama di dekat ujung interval.

Rumus Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange adalah cara langsung untuk menuliskan polinom interpolasi. Jika Anda memiliki titik $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ dengan $x_i$ yang saling berbeda, bentuk Lagrange adalah

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

dengan

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Setiap polinom basis $L_i(x)$ dibangun sehingga nilainya sama dengan $1$ di $x_i$ dan $0$ pada nilai-nilai $x$ diketahui lainnya. Itulah sebabnya penjumlahan tersebut mempertahankan nilai $y_i$ yang benar pada setiap titik data.

Biasanya Anda menggunakan bentuk Lagrange ketika ingin mendapatkan polinom interpolasi yang tepat dari sekumpulan kecil titik. Secara konsep bentuk ini rapi, tetapi untuk masalah numerik yang lebih besar, bentuk lain sering lebih disukai karena lebih stabil untuk dihitung.

Interpolasi vs. ekstrapolasi

Interpolasi berarti memperkirakan di dalam rentang nilai $x$ yang diketahui. Ekstrapolasi berarti memperluas perkiraan ke luar rentang tersebut.

Perbedaan ini penting karena interpolasi tetap bertumpu pada data terdekat. Ekstrapolasi bisa cepat gagal jika pola dasarnya berubah di luar interval yang diamati.

Kesalahan Umum dalam Interpolasi

Menggunakan interpolasi di luar rentang data

Jika $x$ berada di luar interval yang diketahui, perhitungannya bukan lagi interpolasi. Itu menjadi ekstrapolasi, yang sering kali kurang andal.

Menganggap kecocokan tepat berarti kenyataan yang tepat

Sebuah polinom bisa melalui titik-titik data hasil pengukuran secara tepat tetapi tetap menjadi model yang buruk untuk situasi nyata di antaranya, terutama jika data mengandung noise.

Melupakan syarat $x$ harus berbeda

Untuk rumus interpolasi standar, nilai-nilai $x$ yang diketahui harus saling berbeda. Jika dua titik data memiliki $x$ yang sama tetapi nilai $y$ berbeda, satu fungsi tidak bisa melalui keduanya.

Terlalu cepat memilih derajat tinggi

Menggunakan setiap titik data dalam satu polinom besar dapat menimbulkan perilaku yang tidak stabil. Dalam praktiknya, metode potongan demi potongan seperti spline sering lebih disukai ketika melibatkan banyak titik.

Di Mana Interpolasi Digunakan

Interpolasi muncul dalam analisis numerik, grafika komputer, pencarian nilai pada tabel, pemrosesan sinyal, dan komputasi ilmiah. Ini berguna kapan pun Anda mengetahui nilai pada titik-titik tertentu tetapi membutuhkan nilai yang masuk akal di antaranya.

Dalam mata kuliah matematika dasar, interpolasi juga menghubungkan kemiringan, fungsi, polinom, dan pendekatan ke dalam satu gagasan: menggunakan struktur yang diketahui untuk memperkirakan nilai antara yang belum diketahui.

Coba soal interpolasi serupa

Ambil titik $(2, 4)$ dan $(8, 19)$ lalu perkirakan nilai saat $x = 5$ dengan interpolasi linear. Kemudian tanyakan apakah penggunaan garis lurus tampak masuk akal pada interval tersebut.

Jika Anda ingin pemeriksaan cepat setelah menyusunnya sendiri, coba versi Anda sendiri di solver dan bandingkan persamaan garisnya dengan hasil Anda.