Interpolação — Métodos Linear, Polinomial e de Lagrange

Interpolação significa estimar um valor entre pontos de dados conhecidos. Se o valor de $x$ que você quer está dentro do intervalo dos dados que você já conhece, a interpolação oferece uma forma de estimar o valor faltante de $y$.

O caso mais simples é a interpolação linear, que usa uma reta entre dois pontos. A interpolação polinomial usa um único polinômio que passa exatamente por vários pontos. A interpolação de Lagrange é uma fórmula padrão para escrever esse polinômio quando os valores conhecidos de $x$ são distintos.

Se o $x$ desconhecido estiver fora do intervalo conhecido, então você está fazendo extrapolação. Essa é uma tarefa diferente e geralmente menos confiável.

Fórmula da interpolação linear

Suponha que você conheça os pontos $(x_0, y_0)$ e $(x_1, y_1)$ com $x_0 \ne x_1$. Para um $x$ entre $x_0$ e $x_1$, a interpolação linear usa

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Isso funciona pegando a fração da distância horizontal de $x_0$ até $x$ e aplicando a mesma fração da variação vertical de $y_0$ até $y_1$. O método é exato se a relação real for linear nesse intervalo; caso contrário, é uma estimativa local.

Exemplo de interpolação linear

Suponha que os pontos conhecidos sejam $(1, 3)$ e $(4, 15)$, e você queira o valor em $x = 2$.

Use a fórmula da interpolação linear:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Agora simplifique:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Então o valor interpolado é $y = 7$. Isso faz sentido porque $x = 2$ está a um terço do caminho de $1$ até $4$, então a saída avança um terço do caminho de $3$ até $15$.

Interpolação polinomial significa ajuste exato por vários pontos

Se você tiver mais de dois pontos com valores de $x$ distintos, a interpolação polinomial procura um único polinômio que passe por todos eles. Para $n+1$ pontos com valores de $x$ distintos, existe exatamente um polinômio de grau no máximo $n$ que se ajusta a eles.

Por exemplo, dois pontos determinam uma reta, três pontos determinam no máximo uma parábola, e quatro pontos determinam no máximo um polinômio cúbico. Isso é útil quando você quer uma fórmula suave que coincida exatamente com valores amostrados.

A desvantagem é que ajuste exato nem sempre significa bom comportamento entre os pontos. Com muitos pontos ou pontos muito espaçados, um polinômio interpolador de grau alto pode oscilar bastante, especialmente perto das extremidades do intervalo.

Fórmula da interpolação de Lagrange

A interpolação de Lagrange é uma forma direta de escrever o polinômio interpolador. Se você tiver os pontos $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ com $x_i$ distintos, a forma de Lagrange é

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

onde

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Cada polinômio base $L_i(x)$ é construído de modo que seja igual a $1$ em $x_i$ e a $0$ nos outros valores conhecidos de $x$. É por isso que a soma mantém o valor correto de $y_i$ em cada ponto de dados.

Em geral, você usa a forma de Lagrange quando quer um polinômio interpolador exato a partir de um conjunto pequeno de pontos. Conceitualmente ela é clara, mas em problemas numéricos maiores outras formas costumam ser preferidas porque são mais estáveis para calcular.

Interpolação vs. extrapolação

Interpolação significa estimar dentro do intervalo conhecido dos valores de $x$. Extrapolação significa estender além desse intervalo.

Essa diferença importa porque a interpolação permanece ancorada em dados próximos. A extrapolação pode falhar rapidamente se o padrão subjacente mudar fora do intervalo observado.

Erros comuns em interpolação

Usar interpolação fora do intervalo dos dados

Se $x$ estiver fora do intervalo conhecido, o cálculo deixa de ser interpolação. Ele passa a ser extrapolação, que muitas vezes é menos confiável.

Supor que ajuste exato significa realidade exata

Um polinômio pode passar exatamente pelos pontos de dados medidos e ainda assim ser um modelo ruim da situação real entre eles, especialmente se os dados contiverem ruído.

Esquecer a condição de $x$ distintos

Nas fórmulas padrão de interpolação, os valores conhecidos de $x$ precisam ser distintos. Se dois pontos de dados tiverem o mesmo $x$, mas valores de $y$ diferentes, uma única função não pode passar pelos dois.

Escolher um grau alto rápido demais

Usar todos os pontos de dados em um único polinômio grande pode criar comportamento instável. Na prática, métodos por partes, como splines, costumam ser preferidos quando há muitos pontos envolvidos.

Onde a interpolação é usada

A interpolação aparece em análise numérica, computação gráfica, consulta de tabelas, processamento de sinais e computação científica. Ela é útil sempre que você conhece valores em pontos selecionados, mas precisa de um valor razoável entre eles.

Em um primeiro curso de matemática, ela também conecta inclinação, funções, polinômios e aproximação em uma única ideia: usar uma estrutura conhecida para estimar um valor desconhecido entre dois pontos.

Tente um problema parecido de interpolação

Considere os pontos $(2, 4)$ e $(8, 19)$ e estime o valor em $x = 5$ com interpolação linear. Depois pergunte se usar uma reta parece razoável nesse intervalo.

Se você quiser uma verificação rápida depois de montar o problema por conta própria, teste sua própria versão no solver e compare a equação da reta com o seu resultado.