Interpolation – lineare, polynomiale & Lagrange-Methoden

Interpolation bedeutet, einen Wert zwischen bekannten Datenpunkten zu schätzen. Wenn der gesuchte $x$-Wert innerhalb des Bereichs der bereits bekannten Daten liegt, liefert Interpolation eine Möglichkeit, den fehlenden $y$-Wert abzuschätzen.

Der einfachste Fall ist die lineare Interpolation, bei der eine Gerade zwischen zwei Punkten verwendet wird. Die polynomiale Interpolation benutzt ein einziges Polynom, das durch mehrere Punkte exakt verläuft. Die Lagrange-Interpolation ist eine Standardformel, um dieses Polynom anzugeben, wenn die bekannten $x$-Werte verschieden sind.

Liegt das unbekannte $x$ außerhalb des bekannten Bereichs, handelt es sich stattdessen um Extrapolation. Das ist eine andere Aufgabe und in der Regel weniger zuverlässig.

Formel der linearen Interpolation

Angenommen, du kennst die Punkte $(x_0, y_0)$ und $(x_1, y_1)$ mit $x_0 \ne x_1$. Für ein $x$ zwischen $x_0$ und $x_1$ verwendet die lineare Interpolation

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Das funktioniert, indem der Anteil der horizontalen Strecke von $x_0$ nach $x$ genommen und derselbe Anteil der vertikalen Änderung von $y_0$ nach $y_1$ angewendet wird. Die Formel ist exakt, wenn der wahre Zusammenhang in diesem Intervall linear ist; andernfalls ist sie eine lokale Schätzung.

Beispiel zur linearen Interpolation

Angenommen, die bekannten Punkte sind $(1, 3)$ und $(4, 15)$, und du suchst den Wert bei $x = 2$.

Verwende die Formel der linearen Interpolation:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Nun vereinfachen:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Der interpolierte Wert ist also $y = 7$. Das ist plausibel, weil $x = 2$ ein Drittel des Weges von $1$ nach $4$ liegt, also bewegt sich der Ausgabewert ebenfalls ein Drittel des Weges von $3$ nach $15$.

Polynomiale Interpolation bedeutet exakte Anpassung durch mehrere Punkte

Wenn du mehr als zwei Punkte mit verschiedenen $x$-Werten hast, sucht die polynomiale Interpolation ein einziges Polynom, das durch alle diese Punkte verläuft. Für $n+1$ Punkte mit verschiedenen $x$-Werten gibt es genau ein Polynom vom Grad höchstens $n$, das zu ihnen passt.

Zum Beispiel bestimmen zwei Punkte höchstens eine Gerade, drei Punkte höchstens eine quadratische Funktion und vier Punkte höchstens eine kubische Funktion. Das ist nützlich, wenn du eine glatte Formel möchtest, die abgetastete Werte exakt trifft.

Der Nachteil ist, dass exakte Anpassung nicht immer gutes Verhalten zwischen den Punkten bedeutet. Bei vielen Punkten oder weit auseinanderliegenden Punkten kann ein Interpolationspolynom hohen Grades stark oszillieren, besonders an den Rändern des Intervalls.

Formel der Lagrange-Interpolation

Die Lagrange-Interpolation ist eine direkte Methode, das Interpolationspolynom anzugeben. Wenn du die Punkte $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ mit verschiedenen $x_i$ hast, lautet die Lagrange-Form

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

wobei

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Jedes Basispolynom $L_i(x)$ ist so konstruiert, dass es bei $x_i$ den Wert $1$ und bei den anderen bekannten $x$-Werten den Wert $0$ hat. Deshalb behält die Summe an jedem Datenpunkt den richtigen Wert $y_i$.

Die Lagrange-Form wird meist verwendet, wenn du aus einer kleinen Menge von Punkten ein exaktes Interpolationspolynom bestimmen willst. Sie ist konzeptionell klar, aber bei größeren numerischen Problemen werden oft andere Formen bevorzugt, weil sie numerisch stabiler zu berechnen sind.

Interpolation vs. Extrapolation

Interpolation bedeutet, innerhalb des bekannten Bereichs der $x$-Werte zu schätzen. Extrapolation bedeutet, über diesen Bereich hinauszugehen.

Dieser Unterschied ist wichtig, weil Interpolation an nahegelegene Daten gebunden bleibt. Extrapolation kann schnell scheitern, wenn sich das zugrunde liegende Muster außerhalb des beobachteten Intervalls ändert.

Häufige Fehler bei der Interpolation

Interpolation außerhalb des Datenbereichs verwenden

Wenn $x$ außerhalb des bekannten Intervalls liegt, ist die Rechnung keine Interpolation mehr. Sie wird zur Extrapolation, die oft weniger zuverlässig ist.

Annehmen, dass exakte Anpassung exakte Realität bedeutet

Ein Polynom kann exakt durch gemessene Datenpunkte verlaufen und trotzdem ein schlechtes Modell der realen Situation zwischen diesen Punkten sein, besonders wenn die Daten Rauschen enthalten.

Die Bedingung verschiedener $x$-Werte vergessen

Für die Standardformeln der Interpolation müssen die bekannten $x$-Werte verschieden sein. Wenn zwei Datenpunkte denselben $x$-Wert, aber unterschiedliche $y$-Werte haben, kann keine einzelne Funktion durch beide verlaufen.

Zu schnell einen hohen Grad wählen

Wenn jeder Datenpunkt in ein einziges großes Polynom aufgenommen wird, kann instabiles Verhalten entstehen. In der Praxis werden bei vielen Punkten oft stückweise definierte Methoden wie Splines bevorzugt.

Wo Interpolation verwendet wird

Interpolation kommt in der numerischen Analysis, Computergrafik, beim Nachschlagen in Tabellen, in der Signalverarbeitung und im wissenschaftlichen Rechnen vor. Sie ist immer dann nützlich, wenn Werte an ausgewählten Punkten bekannt sind, aber ein sinnvoller Zwischenwert gebraucht wird.

In einem ersten Mathematikkurs verbindet sie außerdem Steigung, Funktionen, Polynome und Approximation in einer einzigen Idee: bekannte Struktur nutzen, um einen unbekannten Zwischenwert zu schätzen.

Probiere eine ähnliche Interpolationsaufgabe

Nimm die Punkte $(2, 4)$ und $(8, 19)$ und schätze mit linearer Interpolation den Wert bei $x = 5$. Überlege dann, ob eine Gerade über diesem Intervall sinnvoll erscheint.

Wenn du nach dem eigenen Aufstellen eine schnelle Kontrolle möchtest, probiere deine eigene Version im Solver aus und vergleiche die Geradengleichung mit deinem Ergebnis.