การอินเตอร์โพเลชัน — วิธีเชิงเส้น พหุนาม และลากร็องจ์

การอินเตอร์โพเลชันหมายถึงการประมาณค่าระหว่างจุดข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว ถ้าค่า $x$ ที่คุณต้องการอยู่ภายในช่วงของข้อมูลที่มี การอินเตอร์โพเลชันจะช่วยให้คุณประมาณค่า $y$ ที่หายไปได้

กรณีที่ง่ายที่สุดคือการอินเตอร์โพเลชันเชิงเส้น ซึ่งใช้เส้นตรงเชื่อมระหว่างสองจุด ส่วนการอินเตอร์โพเลชันพหุนามใช้พหุนามเพียงตัวเดียวที่ผ่านหลายจุดได้พอดี การอินเตอร์โพเลชันแบบลากร็องจ์เป็นสูตรมาตรฐานสำหรับเขียนพหุนามนั้น เมื่อค่า $x$ ที่ทราบไม่ซ้ำกัน

ถ้าค่า $x$ ที่ไม่ทราบอยู่นอกช่วงที่ทราบ นั่นไม่ใช่การอินเตอร์โพเลชัน แต่เป็นการเอ็กซ์แทรโพเลชันแทน ซึ่งเป็นงานคนละแบบและมักเชื่อถือได้น้อยกว่า

สูตรการอินเตอร์โพเลชันเชิงเส้น

สมมติว่าคุณทราบจุด $(x_0, y_0)$ และ $(x_1, y_1)$ โดยที่ $x_0 \ne x_1$ สำหรับค่า $x$ ที่อยู่ระหว่าง $x_0$ และ $x_1$ การอินเตอร์โพเลชันเชิงเส้นใช้สูตร

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

แนวคิดคือหาสัดส่วนของระยะในแนวนอนจาก $x_0$ ไปยัง $x$ แล้วใช้สัดส่วนเดียวกันกับการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งจาก $y_0$ ไปยัง $y_1$ สูตรนี้ให้ค่าถูกต้องพอดีถ้าความสัมพันธ์จริงเป็นเชิงเส้นบนช่วงนั้น มิฉะนั้นจะเป็นเพียงค่าประมาณเฉพาะบริเวณ

ตัวอย่างการอินเตอร์โพเลชันเชิงเส้น

สมมติว่าจุดที่ทราบคือ $(1, 3)$ และ $(4, 15)$ และคุณต้องการหาค่าที่ $x = 2$

ใช้สูตรการอินเตอร์โพเลชันเชิงเส้น:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

จากนั้นจัดรูป:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

ดังนั้นค่าที่อินเตอร์โพเลตได้คือ $y = 7$ ซึ่งสมเหตุสมผล เพราะ $x = 2$ อยู่ห่างจาก $1$ ไปยัง $4$ เป็นระยะหนึ่งในสาม ดังนั้นค่าผลลัพธ์จึงขยับจาก $3$ ไปยัง $15$ เป็นระยะหนึ่งในสามเช่นกัน

การอินเตอร์โพเลชันพหุนามคือการฟิตให้ผ่านหลายจุดแบบพอดี

ถ้าคุณมีมากกว่าสองจุดและค่า $x$ ไม่ซ้ำกัน การอินเตอร์โพเลชันพหุนามจะมองหาพหุนามเพียงตัวเดียวที่ผ่านทุกจุดเหล่านั้น สำหรับจุด $n+1$ จุดที่มีค่า $x$ ต่างกัน จะมีพหุนามเพียงหนึ่งเดียวที่มีดีกรีไม่เกิน $n$ และฟิตข้อมูลเหล่านั้นได้พอดี

ตัวอย่างเช่น สองจุดกำหนดเส้นตรง สามจุดกำหนดพาราโบลาได้มากสุด และสี่จุดกำหนดพหุนามดีกรีสามได้มากสุด วิธีนี้มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการสูตรที่เรียบลื่นและตรงกับค่าที่สุ่มตัวอย่างมาอย่างพอดี

ข้อแลกเปลี่ยนคือ การฟิตได้พอดีไม่ได้แปลว่าจะมีพฤติกรรมที่ดีเสมอระหว่างจุดข้อมูล หากมีหลายจุดหรือจุดอยู่ห่างกันมาก พหุนามอินเตอร์โพเลชันดีกรีสูงอาจแกว่งมาก โดยเฉพาะใกล้ปลายช่วง

สูตรการอินเตอร์โพเลชันแบบลากร็องจ์

การอินเตอร์โพเลชันแบบลากร็องจ์เป็นวิธีตรงไปตรงมาในการเขียนพหุนามอินเตอร์โพเลชัน ถ้าคุณมีจุด $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ โดยที่ $x_i$ แตกต่างกัน รูปแบบลากร็องจ์คือ

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

โดยที่

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

พหุนามฐานแต่ละตัว $L_i(x)$ ถูกสร้างให้มีค่าเท่ากับ $1$ ที่ $x_i$ และเท่ากับ $0$ ที่ค่า $x$ อื่น ๆ ที่ทราบ นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ผลรวมนี้ยังคงให้ค่า $y_i$ ที่ถูกต้องในแต่ละจุดข้อมูล

โดยทั่วไป คุณจะใช้รูปแบบลากร็องจ์เมื่อคุณต้องการพหุนามอินเตอร์โพเลชันที่ตรงพอดีจากชุดจุดจำนวนน้อย แนวคิดของมันชัดเจนและเข้าใจง่าย แต่สำหรับปัญหาเชิงตัวเลขที่ใหญ่ขึ้น มักนิยมใช้รูปแบบอื่นเพราะคำนวณได้เสถียรกว่า

การอินเตอร์โพเลชันกับการเอ็กซ์แทรโพเลชัน

การอินเตอร์โพเลชันหมายถึงการประมาณค่าภายในช่วงของค่า $x$ ที่ทราบ ส่วนการเอ็กซ์แทรโพเลชันหมายถึงการขยายการประมาณออกไปนอกช่วงนั้น

ความต่างนี้สำคัญ เพราะการอินเตอร์โพเลชันยังยึดโยงกับข้อมูลใกล้เคียงที่มีอยู่ ขณะที่การเอ็กซ์แทรโพเลชันอาจผิดพลาดได้อย่างรวดเร็ว หากรูปแบบพื้นฐานเปลี่ยนไปนอกช่วงที่สังเกต

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการอินเตอร์โพเลชัน

ใช้อินเตอร์โพเลชันนอกช่วงข้อมูล

ถ้า $x$ อยู่นอกช่วงที่ทราบ การคำนวณนั้นจะไม่ใช่การอินเตอร์โพเลชันอีกต่อไป แต่กลายเป็นการเอ็กซ์แทรโพเลชัน ซึ่งมักเชื่อถือได้น้อยกว่า

คิดว่าการฟิตได้พอดีแปลว่าตรงกับความจริงพอดี

พหุนามอาจผ่านจุดข้อมูลที่วัดมาได้พอดีทุกจุด แต่ยังเป็นแบบจำลองที่ไม่ดีของสถานการณ์จริงระหว่างจุดเหล่านั้นได้ โดยเฉพาะเมื่อข้อมูลมีสัญญาณรบกวน

ลืมเงื่อนไขที่ว่า $x$ ต้องไม่ซ้ำกัน

สำหรับสูตรอินเตอร์โพเลชันมาตรฐาน ค่า $x$ ที่ทราบต้องแตกต่างกัน ถ้าจุดข้อมูลสองจุดมีค่า $x$ เดียวกันแต่มีค่า $y$ ต่างกัน ฟังก์ชันเดียวจะไม่สามารถผ่านทั้งสองจุดได้

เลือกดีกรีสูงเร็วเกินไป

การใช้ทุกจุดข้อมูลสร้างพหุนามขนาดใหญ่เพียงตัวเดียวอาจทำให้เกิดพฤติกรรมไม่เสถียร ในทางปฏิบัติ วิธีแบบแบ่งช่วง เช่น spline มักเป็นตัวเลือกที่ดีกว่าเมื่อมีหลายจุดข้อมูล

การอินเตอร์โพเลชันถูกใช้ที่ไหน

การอินเตอร์โพเลชันพบได้ในวิชาการวิเคราะห์เชิงตัวเลข คอมพิวเตอร์กราฟิก การค้นหาค่าจากตาราง การประมวลผลสัญญาณ และการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ มันมีประโยชน์ทุกครั้งที่คุณทราบค่าที่บางจุด แต่ต้องการค่าที่สมเหตุสมผลระหว่างจุดเหล่านั้น

ในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น แนวคิดนี้ยังเชื่อมโยงเรื่องความชัน ฟังก์ชัน พหุนาม และการประมาณค่าเข้าด้วยกัน เป็นแนวคิดเดียวคือใช้โครงสร้างที่ทราบเพื่อประมาณค่าที่ไม่ทราบซึ่งอยู่ระหว่างกลาง

ลองทำโจทย์อินเตอร์โพเลชันที่คล้ายกัน

พิจารณาจุด $(2, 4)$ และ $(8, 19)$ แล้วประมาณค่าที่ $x = 5$ ด้วยการอินเตอร์โพเลชันเชิงเส้น จากนั้นลองถามต่อว่าการใช้เส้นตรงบนช่วงนั้นดูสมเหตุสมผลหรือไม่

ถ้าคุณอยากตรวจคำตอบอย่างรวดเร็วหลังจากลองตั้งโจทย์เองแล้ว ให้ลองทำในตัวแก้โจทย์และเปรียบเทียบสมการเส้นตรงกับผลลัพธ์ที่คุณได้