Nội suy — Phương pháp tuyến tính, đa thức và Lagrange

Nội suy là việc ước lượng một giá trị nằm giữa các điểm dữ liệu đã biết. Nếu giá trị $x$ bạn cần nằm trong khoảng dữ liệu mà bạn đã biết, nội suy cho bạn một cách để ước lượng giá trị $y$ còn thiếu.

Trường hợp đơn giản nhất là nội suy tuyến tính, dùng một đường thẳng nối hai điểm. Nội suy đa thức dùng một đa thức duy nhất đi qua chính xác nhiều điểm. Nội suy Lagrange là một công thức chuẩn để viết đa thức đó khi các giá trị $x$ đã biết là phân biệt.

Nếu giá trị $x$ chưa biết nằm ngoài khoảng đã biết, thì đó là ngoại suy. Đây là một bài toán khác và thường kém tin cậy hơn.

Công thức nội suy tuyến tính

Giả sử bạn biết hai điểm $(x_0, y_0)$ và $(x_1, y_1)$ với $x_0 \ne x_1$. Với một giá trị $x$ nằm giữa $x_0$ và $x_1$, nội suy tuyến tính dùng công thức

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Cách này hoạt động bằng cách lấy tỉ lệ khoảng cách theo phương ngang từ $x_0$ đến $x$, rồi áp dụng đúng tỉ lệ đó cho độ thay đổi theo phương dọc từ $y_0$ đến $y_1$. Kết quả là chính xác nếu quan hệ thật sự là tuyến tính trên khoảng đó; nếu không thì đây là một ước lượng cục bộ.

Ví dụ nội suy tuyến tính

Giả sử các điểm đã biết là $(1, 3)$ và $(4, 15)$, và bạn muốn tìm giá trị tại $x = 2$.

Dùng công thức nội suy tuyến tính:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Bây giờ rút gọn:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Vậy giá trị nội suy là $y = 7$. Điều này hợp lý vì $x = 2$ nằm cách từ $1$ đến $4$ một phần ba quãng đường, nên đầu ra cũng tăng một phần ba từ $3$ đến $15$.

Nội suy đa thức là khớp chính xác qua nhiều điểm

Nếu bạn có nhiều hơn hai điểm với các giá trị $x$ phân biệt, nội suy đa thức sẽ tìm một đa thức duy nhất đi qua tất cả các điểm đó. Với $n+1$ điểm có các giá trị $x$ phân biệt, tồn tại đúng một đa thức bậc không quá $n$ khớp với chúng.

Ví dụ, hai điểm xác định một đường thẳng, ba điểm xác định nhiều nhất một parabol bậc hai, và bốn điểm xác định nhiều nhất một đa thức bậc ba. Điều này hữu ích khi bạn muốn có một công thức trơn khớp chính xác với các giá trị mẫu.

Đánh đổi ở đây là khớp chính xác không phải lúc nào cũng đồng nghĩa với hành vi tốt giữa các điểm. Với nhiều điểm hoặc các điểm cách xa nhau, một đa thức nội suy bậc cao có thể dao động mạnh, đặc biệt gần hai đầu của khoảng.

Công thức nội suy Lagrange

Nội suy Lagrange là một cách trực tiếp để viết đa thức nội suy. Nếu bạn có các điểm $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ với các $x_i$ phân biệt, thì dạng Lagrange là

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

trong đó

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Mỗi đa thức cơ sở $L_i(x)$ được xây dựng sao cho nó bằng $1$ tại $x_i$ và bằng $0$ tại các giá trị $x$ đã biết còn lại. Vì vậy tổng trên giữ đúng giá trị $y_i$ tại từng điểm dữ liệu.

Bạn thường dùng dạng Lagrange khi muốn có một đa thức nội suy chính xác từ một tập nhỏ các điểm. Về mặt ý tưởng, nó rất rõ ràng, nhưng với các bài toán số lớn hơn thì người ta thường ưu tiên các dạng khác vì chúng ổn định hơn khi tính toán.

Nội suy và ngoại suy

Nội suy là ước lượng bên trong khoảng các giá trị $x$ đã biết. Ngoại suy là mở rộng ra ngoài khoảng đó.

Sự khác biệt này quan trọng vì nội suy vẫn bám vào dữ liệu lân cận. Ngoại suy có thể sai rất nhanh nếu quy luật nền thay đổi bên ngoài khoảng đã quan sát.

Những lỗi thường gặp khi nội suy

Dùng nội suy ngoài khoảng dữ liệu

Nếu $x$ nằm ngoài khoảng đã biết, phép tính đó không còn là nội suy nữa. Nó trở thành ngoại suy, vốn thường kém tin cậy hơn.

Cho rằng khớp chính xác nghĩa là phản ánh đúng thực tế

Một đa thức có thể đi qua chính xác các điểm dữ liệu đo được nhưng vẫn là mô hình kém cho tình huống thực giữa các điểm đó, đặc biệt nếu dữ liệu có nhiễu.

Quên điều kiện các giá trị $x$ phải phân biệt

Với các công thức nội suy chuẩn, các giá trị $x$ đã biết phải phân biệt. Nếu hai điểm dữ liệu có cùng một $x$ nhưng khác $y$, thì một hàm số không thể đi qua cả hai.

Chọn bậc cao quá sớm

Dùng mọi điểm dữ liệu trong một đa thức lớn duy nhất có thể tạo ra hành vi không ổn định. Trong thực tế, các phương pháp từng khúc như spline thường được ưu tiên hơn khi có nhiều điểm.

Nội suy được dùng ở đâu

Nội suy xuất hiện trong giải tích số, đồ họa máy tính, tra bảng, xử lý tín hiệu và tính toán khoa học. Nó hữu ích bất cứ khi nào bạn biết giá trị tại một số điểm chọn trước nhưng cần một giá trị hợp lý ở giữa.

Trong một khóa toán nhập môn, nội suy cũng kết nối độ dốc, hàm số, đa thức và xấp xỉ thành một ý tưởng chung: dùng cấu trúc đã biết để ước lượng một giá trị chưa biết nằm ở giữa.

Thử một bài nội suy tương tự

Lấy hai điểm $(2, 4)$ và $(8, 19)$ rồi ước lượng giá trị tại $x = 5$ bằng nội suy tuyến tính. Sau đó tự hỏi liệu dùng một đường thẳng trên khoảng đó có hợp lý hay không.

Nếu bạn muốn kiểm tra nhanh sau khi tự thiết lập, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong trình giải và so sánh phương trình đường thẳng với kết quả của bạn.