Interpolation — méthodes linéaire, polynomiale et de Lagrange

L’interpolation consiste à estimer une valeur entre des points de données connus. Si la valeur de $x$ recherchée se trouve dans l’intervalle des données que vous connaissez déjà, l’interpolation vous donne un moyen d’estimer la valeur manquante de $y$.

Le cas le plus simple est l’interpolation linéaire, qui utilise une droite entre deux points. L’interpolation polynomiale utilise un seul polynôme qui passe exactement par plusieurs points. L’interpolation de Lagrange est une formule classique pour écrire ce polynôme lorsque les valeurs connues de $x$ sont distinctes.

Si la valeur inconnue de $x$ se trouve en dehors de l’intervalle connu, il s’agit alors d’extrapolation. C’est un problème différent et généralement moins fiable.

Formule de l’interpolation linéaire

Supposons que vous connaissiez les points $(x_0, y_0)$ et $(x_1, y_1)$ avec $x_0 \ne x_1$. Pour un $x$ compris entre $x_0$ et $x_1$, l’interpolation linéaire utilise

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Cela fonctionne en prenant la fraction de distance horizontale entre $x_0$ et $x$, puis en appliquant cette même fraction à la variation verticale entre $y_0$ et $y_1$. Le résultat est exact si la relation réelle est linéaire sur cet intervalle ; sinon, c’est une estimation locale.

Exemple d’interpolation linéaire

Supposons que les points connus soient $(1, 3)$ et $(4, 15)$, et que vous vouliez la valeur pour $x = 2$.

Utilisez la formule de l’interpolation linéaire :

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Simplifions maintenant :

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

La valeur interpolée est donc $y = 7$. Cela a du sens, car $x = 2$ se situe à un tiers du chemin entre $1$ et $4$, donc la sortie avance aussi d’un tiers du chemin entre $3$ et $15$.

L’interpolation polynomiale signifie un ajustement exact à travers plusieurs points

Si vous avez plus de deux points avec des valeurs de $x$ distinctes, l’interpolation polynomiale cherche un seul polynôme qui passe par tous ces points. Pour $n+1$ points avec des valeurs de $x$ distinctes, il existe exactement un polynôme de degré au plus $n$ qui les ajuste.

Par exemple, deux points déterminent une droite, trois points déterminent au plus un polynôme du second degré, et quatre points déterminent au plus un polynôme du troisième degré. C’est utile lorsque vous voulez une formule lisse qui reproduit exactement des valeurs échantillonnées.

Le compromis, c’est qu’un ajustement exact ne signifie pas toujours un bon comportement entre les points. Avec beaucoup de points ou des points très espacés, un polynôme interpolateur de haut degré peut beaucoup osciller, surtout près des extrémités de l’intervalle.

Formule d’interpolation de Lagrange

L’interpolation de Lagrange est une manière directe d’écrire le polynôme interpolateur. Si vous avez les points $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ avec des $x_i$ distincts, la forme de Lagrange est

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

où

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Chaque polynôme de base $L_i(x)$ est construit de sorte qu’il vaut $1$ en $x_i$ et $0$ pour les autres valeurs connues de $x$. C’est pourquoi la somme conserve la bonne valeur $y_i$ à chaque point de données.

On utilise généralement la forme de Lagrange lorsqu’on veut un polynôme interpolateur exact à partir d’un petit ensemble de points. Elle est conceptuellement claire, mais pour des problèmes numériques plus grands, d’autres formes sont souvent préférées car elles sont plus stables à calculer.

Interpolation vs extrapolation

L’interpolation consiste à estimer à l’intérieur de l’intervalle connu des valeurs de $x$. L’extrapolation consiste à prolonger au-delà de cet intervalle.

Cette différence est importante, car l’interpolation reste ancrée à des données proches. L’extrapolation peut échouer rapidement si le comportement sous-jacent change en dehors de l’intervalle observé.

Erreurs courantes en interpolation

Utiliser l’interpolation en dehors de l’intervalle des données

Si $x$ se trouve en dehors de l’intervalle connu, le calcul n’est plus une interpolation. Il devient une extrapolation, souvent moins fiable.

Supposer qu’un ajustement exact signifie une réalité exacte

Un polynôme peut passer exactement par des points de données mesurés tout en restant un mauvais modèle de la situation réelle entre ces points, surtout si les données contiennent du bruit.

Oublier la condition de distinction des $x$

Pour les formules d’interpolation standard, les valeurs connues de $x$ doivent être distinctes. Si deux points de données ont le même $x$ mais des valeurs de $y$ différentes, une seule fonction ne peut pas passer par les deux.

Choisir trop vite un degré élevé

Utiliser tous les points de données dans un seul grand polynôme peut créer un comportement instable. En pratique, des méthodes par morceaux comme les splines sont souvent préférées lorsqu’il y a beaucoup de points.

Où l’interpolation est utilisée

L’interpolation apparaît en analyse numérique, en infographie, dans les tables de correspondance, en traitement du signal et en calcul scientifique. Elle est utile chaque fois que vous connaissez des valeurs en certains points mais avez besoin d’une valeur raisonnable entre eux.

Dans un premier cours de mathématiques, elle relie aussi la pente, les fonctions, les polynômes et l’approximation en une seule idée : utiliser une structure connue pour estimer une valeur inconnue située entre deux valeurs.

Essayez un problème d’interpolation similaire

Prenez les points $(2, 4)$ et $(8, 19)$ et estimez la valeur pour $x = 5$ avec l’interpolation linéaire. Demandez-vous ensuite si l’utilisation d’une droite semble raisonnable sur cet intervalle.

Si vous voulez une vérification rapide après l’avoir mis en place vous-même, essayez votre propre version dans le solveur et comparez l’équation de la droite avec votre résultat.