補間法 — 線形補間・多項式補間・ラグランジュ補間

補間とは、既知のデータ点の間にある値を推定することです。求めたい $x$ の値が、すでにわかっているデータの範囲内にあるなら、補間によって対応する欠けた $y$ の値を見積もれます。

最も基本的なのは線形補間で、2点を結ぶ直線を使います。多項式補間では、複数の点を正確に通る1つの多項式を使います。ラグランジュ補間は、既知の $x$ 値が互いに異なるときに、その多項式を書き下すための標準的な公式です。

未知の $x$ が既知の範囲の外にあるなら、それは補間ではなく外挿です。これは別の作業であり、通常は信頼性が低くなります。

線形補間の公式

$(x_0, y_0)$ と $(x_1, y_1)$ という2点がわかっていて、$x_0 \ne x_1$ とします。$x$ が $x_0$ と $x_1$ の間にあるとき、線形補間では次を使います。

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

これは、$x_0$ から $x$ までの水平方向の距離の割合を取り、その同じ割合だけ $y_0$ から $y_1$ への縦方向の変化に当てはめる考え方です。真の関係がその区間で線形なら厳密に一致し、そうでなければ局所的な推定になります。

線形補間の例

既知の点が $(1, 3)$ と $(4, 15)$ で、$x = 2$ における値を求めたいとします。

線形補間の公式を使うと、

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

これを整理すると、

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

したがって、補間された値は $y = 7$ です。これは、$x = 2$ が $1$ から $4$ までのちょうど3分の1の位置にあるので、出力も $3$ から $15$ までの3分の1だけ進むと考えると自然です。

多項式補間とは、複数の点を正確に通ること

互いに異なる $x$ 値をもつ点が3つ以上あるとき、多項式補間では、それらすべてを通る1つの多項式を探します。$x$ 値が互いに異なる $n+1$ 個の点に対して、それらに一致する高々 $n$ 次の多項式はただ1つだけ存在します。

たとえば、2点なら直線、3点なら高々2次式、4点なら高々3次式が定まります。これは、標本として得られた値に正確に一致する滑らかな式がほしいときに便利です。

ただし、正確に通ることが、点と点の間でも良い振る舞いをすることを意味するとは限りません。点が多い場合や間隔が広い場合、高次の補間多項式は大きく振動することがあり、特に区間の端でその傾向が強くなります。

ラグランジュ補間の公式

ラグランジュ補間は、補間多項式を直接書き下す方法です。$(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ という点があり、$x_i$ が互いに異なるとき、ラグランジュ形は

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

で与えられ、ここで

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

です。

各基底多項式 $L_i(x)$ は、$x_i$ では $1$ になり、他の既知の $x$ 値では $0$ になるように作られています。だからこそ、この和を取ると各データ点で正しい $y_i$ が保たれます。

ラグランジュ形は、少数の点から厳密な補間多項式を求めたいときによく使います。考え方は明快ですが、より大きな数値計算では、計算の安定性の点から別の形が好まれることもよくあります。

補間と外挿

補間とは、既知の $x$ 値の範囲内で値を推定することです。外挿とは、その範囲を超えて値を延長して推定することです。

この違いは重要です。補間は近くのデータに支えられていますが、外挿は観測区間の外で元のパターンが変わると、すぐに外れてしまうことがあります。

補間でよくある間違い

データ範囲の外で補間を使う

$x$ が既知の区間の外にあるなら、その計算はもはや補間ではありません。外挿になり、信頼性は低くなることが多いです。

正確に通ることを、現実にも正確だと思い込む

多項式は測定データ点を正確に通れても、その間の実際の状況をうまく表しているとは限りません。特にデータにノイズがある場合は注意が必要です。

$x$ が互いに異なるという条件を忘れる

標準的な補間公式では、既知の $x$ 値は互いに異なっている必要があります。2つのデータ点が同じ $x$ を共有しているのに異なる $y$ をもつなら、1つの関数で両方を通ることはできません。

すぐに高次を選んでしまう

すべてのデータ点を使って1つの大きな多項式を作ると、不安定な振る舞いが生じることがあります。実際には、点が多いときはスプラインのような区分的な方法がよく使われます。

補間はどこで使われるか

補間は、数値解析、コンピュータグラフィックス、表引き、信号処理、科学技術計算などで使われます。選ばれた点での値はわかっているが、その間の妥当な値が必要なときに役立ちます。

初歩の数学では、補間は傾き、関数、多項式、近似という考え方を1つにつなげます。つまり、わかっている構造を使って、その間にある未知の値を推定するという発想です。

似た補間問題をやってみよう

$(2, 4)$ と $(8, 19)$ という点を使って、線形補間で $x = 5$ の値を推定してみましょう。そのうえで、その区間で直線を使うのが妥当に見えるかも考えてみてください。

自分で式を立てたあとに手早く確認したいなら、ソルバーで自分のバージョンを試して、求めた直線の式と結果を比べてみてください。