Παρεμβολή — Γραμμική, Πολυωνυμική και Μέθοδος Lagrange

Παρεμβολή σημαίνει εκτίμηση μιας τιμής ανάμεσα σε γνωστά σημεία δεδομένων. Αν η τιμή $x$ που θέλεις βρίσκεται μέσα στο εύρος των δεδομένων που ήδη γνωρίζεις, η παρεμβολή σου δίνει έναν τρόπο να εκτιμήσεις την άγνωστη τιμή $y$.

Η πιο απλή περίπτωση είναι η γραμμική παρεμβολή, που χρησιμοποιεί μια ευθεία ανάμεσα σε δύο σημεία. Η πολυωνυμική παρεμβολή χρησιμοποιεί ένα πολυώνυμο που περνά ακριβώς από πολλά σημεία. Η παρεμβολή Lagrange είναι ένας τυπικός τύπος για να γράψουμε αυτό το πολυώνυμο όταν οι γνωστές τιμές $x$ είναι διαφορετικές.

Αν το άγνωστο $x$ βρίσκεται έξω από το γνωστό εύρος, τότε κάνεις εξωπαραβολή. Αυτό είναι διαφορετικό πρόβλημα και συνήθως είναι λιγότερο αξιόπιστο.

Τύπος Γραμμικής Παρεμβολής

Έστω ότι γνωρίζεις τα σημεία $(x_0, y_0)$ και $(x_1, y_1)$ με $x_0 \ne x_1$. Για ένα $x$ ανάμεσα στα $x_0$ και $x_1$, η γραμμική παρεμβολή χρησιμοποιεί

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Αυτό λειτουργεί παίρνοντας το ποσοστό της οριζόντιας απόστασης από το $x_0$ έως το $x$ και εφαρμόζοντας το ίδιο ποσοστό στη μεταβολή του $y$ από το $y_0$ στο $y_1$. Είναι ακριβές αν η πραγματική σχέση είναι γραμμική σε εκείνο το διάστημα· διαφορετικά είναι μια τοπική εκτίμηση.

Παράδειγμα Γραμμικής Παρεμβολής

Έστω ότι τα γνωστά σημεία είναι $(1, 3)$ και $(4, 15)$ και θέλεις την τιμή στο $x = 2$.

Χρησιμοποίησε τον τύπο της γραμμικής παρεμβολής:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Τώρα απλοποίησε:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Άρα η παρεμβαλλόμενη τιμή είναι $y = 7$. Αυτό βγάζει νόημα, επειδή το $x = 2$ βρίσκεται στο ένα τρίτο της διαδρομής από το $1$ στο $4$, οπότε και η έξοδος μετακινείται κατά το ένα τρίτο από το $3$ στο $15$.

Η Πολυωνυμική Παρεμβολή Σημαίνει Ακριβή Προσαρμογή Μέσα από Πολλά Σημεία

Αν έχεις περισσότερα από δύο σημεία με διαφορετικές τιμές $x$, η πολυωνυμική παρεμβολή αναζητά ένα πολυώνυμο που περνά από όλα. Για $n+1$ σημεία με διαφορετικές τιμές $x$, υπάρχει ακριβώς ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ $n$ που τα προσαρμόζει.

Για παράδειγμα, δύο σημεία ορίζουν ευθεία, τρία σημεία ορίζουν το πολύ δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και τέσσερα σημεία ορίζουν το πολύ τριτοβάθμιο. Αυτό είναι χρήσιμο όταν θέλεις έναν ομαλό τύπο που να ταιριάζει ακριβώς στις δειγματοληπτημένες τιμές.

Το μειονέκτημα είναι ότι η ακριβής προσαρμογή δεν σημαίνει πάντα καλή συμπεριφορά ανάμεσα στα σημεία. Με πολλά σημεία ή με σημεία που απέχουν πολύ μεταξύ τους, ένα παρεμβαλλόμενο πολυώνυμο υψηλού βαθμού μπορεί να ταλαντώνεται πολύ, ειδικά κοντά στα άκρα του διαστήματος.

Τύπος Παρεμβολής Lagrange

Η παρεμβολή Lagrange είναι ένας άμεσος τρόπος να γράψουμε το παρεμβαλλόμενο πολυώνυμο. Αν έχεις σημεία $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ με διαφορετικά $x_i$, η μορφή Lagrange είναι

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

όπου

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Κάθε βασικό πολυώνυμο $L_i(x)$ κατασκευάζεται έτσι ώστε να είναι ίσο με $1$ στο $x_i$ και $0$ στις άλλες γνωστές τιμές $x$. Γι’ αυτό το άθροισμα διατηρεί τη σωστή τιμή $y_i$ σε κάθε σημείο δεδομένων.

Συνήθως χρησιμοποιείς τη μορφή Lagrange όταν θέλεις ένα ακριβές παρεμβαλλόμενο πολυώνυμο από ένα μικρό σύνολο σημείων. Εννοιολογικά είναι καθαρή μορφή, αλλά για μεγαλύτερα αριθμητικά προβλήματα συχνά προτιμώνται άλλες μορφές επειδή είναι πιο σταθερές υπολογιστικά.

Παρεμβολή vs. εξωπαραβολή

Παρεμβολή σημαίνει εκτίμηση μέσα στο γνωστό εύρος των τιμών $x$. Εξωπαραβολή σημαίνει επέκταση πέρα από αυτό το εύρος.

Αυτή η διαφορά έχει σημασία, επειδή η παρεμβολή παραμένει συνδεδεμένη με κοντινά δεδομένα. Η εξωπαραβολή μπορεί να αποτύχει γρήγορα αν το υποκείμενο μοτίβο αλλάξει έξω από το παρατηρημένο διάστημα.

Συνηθισμένα Λάθη στην Παρεμβολή

Χρήση παρεμβολής έξω από το εύρος των δεδομένων

Αν το $x$ βρίσκεται έξω από το γνωστό διάστημα, ο υπολογισμός δεν είναι πλέον παρεμβολή. Γίνεται εξωπαραβολή, που συχνά είναι λιγότερο αξιόπιστη.

Υπόθεση ότι η ακριβής προσαρμογή σημαίνει ακριβή πραγματικότητα

Ένα πολυώνυμο μπορεί να περνά ακριβώς από μετρημένα σημεία δεδομένων και παρ’ όλα αυτά να είναι κακό μοντέλο της πραγματικής κατάστασης ανάμεσά τους, ειδικά αν τα δεδομένα περιέχουν θόρυβο.

Παράβλεψη της συνθήκης διαφορετικών τιμών $x$

Στους τυπικούς τύπους παρεμβολής, οι γνωστές τιμές $x$ πρέπει να είναι διαφορετικές. Αν δύο σημεία δεδομένων έχουν το ίδιο $x$ αλλά διαφορετικά $y$, μία συνάρτηση δεν μπορεί να περνά και από τα δύο.

Πολύ γρήγορη επιλογή υψηλού βαθμού

Η χρήση κάθε σημείου δεδομένων σε ένα μεγάλο πολυώνυμο μπορεί να δημιουργήσει ασταθή συμπεριφορά. Στην πράξη, τμηματικές μέθοδοι όπως τα splines συχνά προτιμώνται όταν εμπλέκονται πολλά σημεία.

Πού Χρησιμοποιείται η Παρεμβολή

Η παρεμβολή εμφανίζεται στην αριθμητική ανάλυση, στα γραφικά υπολογιστών, στην αναζήτηση τιμών από πίνακες, στην επεξεργασία σήματος και στην επιστημονική υπολογιστική. Είναι χρήσιμη κάθε φορά που γνωρίζεις τιμές σε επιλεγμένα σημεία αλλά χρειάζεσαι μια λογική τιμή ανάμεσά τους.

Σε ένα πρώτο μάθημα μαθηματικών, συνδέει επίσης την κλίση, τις συναρτήσεις, τα πολυώνυμα και την προσέγγιση σε μία ιδέα: τη χρήση γνωστής δομής για την εκτίμηση μιας άγνωστης ενδιάμεσης τιμής.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα παρεμβολής

Πάρε τα σημεία $(2, 4)$ και $(8, 19)$ και εκτίμησε την τιμή στο $x = 5$ με γραμμική παρεμβολή. Έπειτα σκέψου αν η χρήση ευθείας φαίνεται λογική σε αυτό το διάστημα.

Αν θέλεις έναν γρήγορο έλεγχο αφού το στήσεις μόνος σου, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή στον επιλύτη και σύγκρινε την εξίσωση της ευθείας με το αποτέλεσμά σου.