Interpolación — métodos lineales, polinómicos y de Lagrange

La interpolación consiste en estimar un valor entre puntos de datos conocidos. Si el valor de $x$ que buscas está dentro del rango de los datos que ya conoces, la interpolación te da una forma de estimar el valor faltante de $y$.

El caso más sencillo es la interpolación lineal, que usa una recta entre dos puntos. La interpolación polinómica usa un solo polinomio que pasa exactamente por varios puntos. La interpolación de Lagrange es una fórmula estándar para escribir ese polinomio cuando los valores conocidos de $x$ son distintos.

Si la $x$ desconocida queda fuera del rango conocido, entonces estás extrapolando. Esa es una tarea diferente y normalmente es menos fiable.

Fórmula de interpolación lineal

Supón que conoces los puntos $(x_0, y_0)$ y $(x_1, y_1)$ con $x_0 \ne x_1$. Para un valor de $x$ entre $x_0$ y $x_1$, la interpolación lineal usa

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Esto funciona tomando la fracción de la distancia horizontal desde $x_0$ hasta $x$ y aplicando esa misma fracción del cambio vertical desde $y_0$ hasta $y_1$. Es exacta si la relación real es lineal en ese intervalo; en caso contrario, es una estimación local.

Ejemplo de interpolación lineal

Supón que los puntos conocidos son $(1, 3)$ y $(4, 15)$, y quieres el valor en $x = 2$.

Usa la fórmula de interpolación lineal:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Ahora simplifica:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Así que el valor interpolado es $y = 7$. Esto tiene sentido porque $x = 2$ está a un tercio del camino de $1$ a $4$, así que la salida avanza un tercio del camino de $3$ a $15$.

La interpolación polinómica significa ajuste exacto a través de varios puntos

Si tienes más de dos puntos con valores de $x$ distintos, la interpolación polinómica busca un solo polinomio que pase por todos ellos. Para $n+1$ puntos con valores de $x$ distintos, existe exactamente un polinomio de grado como máximo $n$ que los ajusta.

Por ejemplo, dos puntos determinan una recta, tres puntos determinan como máximo una cuadrática y cuatro puntos determinan como máximo una cúbica. Esto es útil cuando quieres una fórmula suave que coincida exactamente con valores muestreados.

La contrapartida es que un ajuste exacto no siempre significa un buen comportamiento entre los puntos. Con muchos puntos o con puntos muy separados, un polinomio interpolador de grado alto puede oscilar mucho, especialmente cerca de los extremos del intervalo.

Fórmula de interpolación de Lagrange

La interpolación de Lagrange es una forma directa de escribir el polinomio interpolador. Si tienes los puntos $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ con $x_i$ distintos, la forma de Lagrange es

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

donde

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Cada polinomio base $L_i(x)$ se construye de modo que vale $1$ en $x_i$ y $0$ en los demás valores conocidos de $x$. Por eso la suma conserva el valor correcto de $y_i$ en cada punto de datos.

Normalmente usas la forma de Lagrange cuando quieres un polinomio interpolador exacto a partir de un conjunto pequeño de puntos. Conceptualmente es clara, pero para problemas numéricos más grandes suelen preferirse otras formas porque son más estables al calcularlas.

Interpolación vs. extrapolación

La interpolación significa estimar dentro del rango conocido de valores de $x$. La extrapolación significa extenderse más allá de ese rango.

Esa diferencia importa porque la interpolación se mantiene apoyada en datos cercanos. La extrapolación puede fallar rápidamente si el patrón subyacente cambia fuera del intervalo observado.

Errores comunes en interpolación

Usar interpolación fuera del rango de datos

Si $x$ está fuera del intervalo conocido, el cálculo ya no es interpolación. Se convierte en extrapolación, que a menudo es menos fiable.

Suponer que un ajuste exacto significa una realidad exacta

Un polinomio puede pasar exactamente por puntos de datos medidos y aun así ser un mal modelo de la situación real entre ellos, especialmente si los datos contienen ruido.

Olvidar la condición de $x$ distintas

Para las fórmulas estándar de interpolación, los valores conocidos de $x$ deben ser distintos. Si dos puntos de datos comparten la misma $x$ pero tienen diferentes valores de $y$, una sola función no puede pasar por ambos.

Elegir un grado alto demasiado rápido

Usar todos los puntos de datos en un único polinomio grande puede crear un comportamiento inestable. En la práctica, a menudo se prefieren métodos por tramos, como los splines, cuando intervienen muchos puntos.

Dónde se usa la interpolación

La interpolación aparece en análisis numérico, gráficos por computadora, búsqueda en tablas, procesamiento de señales y computación científica. Es útil siempre que conoces valores en puntos seleccionados pero necesitas un valor razonable entre ellos.

En un primer curso de matemáticas, también conecta pendiente, funciones, polinomios y aproximación en una sola idea: usar una estructura conocida para estimar un valor intermedio desconocido.

Prueba un problema de interpolación similar

Toma los puntos $(2, 4)$ y $(8, 19)$ y estima el valor en $x = 5$ con interpolación lineal. Luego pregúntate si usar una recta parece razonable en ese intervalo.

Si quieres una comprobación rápida después de plantearlo por tu cuenta, prueba tu propia versión en el solver y compara la ecuación de la recta con tu resultado.