Interpolazione — metodi lineari, polinomiali e di Lagrange

L’interpolazione consiste nello stimare un valore tra punti dati noti. Se il valore di $x$ che cerchi è interno all’intervallo dei dati che già conosci, l’interpolazione ti permette di stimare il valore mancante di $y$.

Il caso più semplice è l’interpolazione lineare, che usa una retta tra due punti. L’interpolazione polinomiale usa invece un unico polinomio che passa esattamente per più punti. L’interpolazione di Lagrange è una formula standard per scrivere quel polinomio quando i valori noti di $x$ sono distinti.

Se il valore incognito di $x$ si trova fuori dall’intervallo noto, allora stai facendo un’estrapolazione. È un problema diverso ed è in genere meno affidabile.

Formula dell’interpolazione lineare

Supponi di conoscere i punti $(x_0, y_0)$ e $(x_1, y_1)$ con $x_0 \ne x_1$. Per un valore di $x$ compreso tra $x_0$ e $x_1$, l’interpolazione lineare usa

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Funziona prendendo la frazione della distanza orizzontale da $x_0$ a $x$ e applicando la stessa frazione della variazione verticale da $y_0$ a $y_1$. È esatta se la relazione reale è lineare su quell’intervallo; altrimenti è una stima locale.

Esempio di interpolazione lineare

Supponi che i punti noti siano $(1, 3)$ e $(4, 15)$, e di voler trovare il valore in $x = 2$.

Usa la formula dell’interpolazione lineare:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Ora semplifica:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Quindi il valore interpolato è $y = 7$. Ha senso perché $x = 2$ si trova a un terzo del percorso da $1$ a $4$, quindi anche l’uscita si sposta di un terzo da $3$ a $15$.

L’interpolazione polinomiale significa adattamento esatto attraverso più punti

Se hai più di due punti con valori di $x$ distinti, l’interpolazione polinomiale cerca un unico polinomio che passi per tutti. Per $n+1$ punti con valori di $x$ distinti, esiste esattamente un polinomio di grado al più $n$ che li interpola.

Per esempio, due punti determinano una retta, tre punti determinano al più una parabola e quattro punti determinano al più una cubica. Questo è utile quando vuoi una formula regolare che coincida esattamente con i valori campionati.

Il compromesso è che un adattamento esatto non significa sempre buon comportamento tra i punti. Con molti punti o punti molto distanziati, un polinomio interpolante di grado alto può oscillare molto, soprattutto vicino agli estremi dell’intervallo.

Formula dell’interpolazione di Lagrange

L’interpolazione di Lagrange è un modo diretto per scrivere il polinomio interpolante. Se hai i punti $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ con $x_i$ distinti, la forma di Lagrange è

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

dove

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Ogni polinomio base $L_i(x)$ è costruito in modo da valere $1$ in $x_i$ e $0$ negli altri valori noti di $x$. Per questo la somma mantiene il corretto valore $y_i$ in ciascun punto dato.

Di solito si usa la forma di Lagrange quando si vuole un polinomio interpolante esatto a partire da un piccolo insieme di punti. È concettualmente chiara, ma per problemi numerici più grandi spesso si preferiscono altre forme perché sono più stabili dal punto di vista del calcolo.

Interpolazione vs. estrapolazione

L’interpolazione significa stimare all’interno dell’intervallo noto dei valori di $x$. L’estrapolazione significa estendersi oltre quell’intervallo.

Questa differenza è importante perché l’interpolazione resta ancorata a dati vicini. L’estrapolazione può fallire rapidamente se il comportamento sottostante cambia fuori dall’intervallo osservato.

Errori comuni nell’interpolazione

Usare l’interpolazione fuori dall’intervallo dei dati

Se $x$ si trova fuori dall’intervallo noto, il calcolo non è più un’interpolazione. Diventa un’estrapolazione, che spesso è meno affidabile.

Supporre che adattamento esatto significhi realtà esatta

Un polinomio può passare esattamente per punti dati misurati e comunque essere un cattivo modello della situazione reale tra quei punti, soprattutto se i dati contengono rumore.

Dimenticare la condizione di valori di $x$ distinti

Per le formule standard di interpolazione, i valori noti di $x$ devono essere distinti. Se due punti dati hanno lo stesso valore di $x$ ma valori diversi di $y$, una sola funzione non può passare per entrambi.

Scegliere troppo in fretta un grado alto

Usare tutti i punti dati in un unico grande polinomio può creare un comportamento instabile. In pratica, quando sono coinvolti molti punti, spesso si preferiscono metodi a tratti come le spline.

Dove si usa l’interpolazione

L’interpolazione compare nell’analisi numerica, nella grafica computerizzata, nella consultazione di tabelle, nell’elaborazione dei segnali e nel calcolo scientifico. È utile ogni volta che conosci valori in punti selezionati ma ti serve un valore ragionevole tra di essi.

In un primo corso di matematica, collega anche pendenza, funzioni, polinomi e approssimazione in un’unica idea: usare una struttura nota per stimare un valore incognito intermedio.

Prova un problema simile di interpolazione

Prendi i punti $(2, 4)$ e $(8, 19)$ e stima il valore in $x = 5$ con l’interpolazione lineare. Poi chiediti se usare una retta sembri ragionevole su quell’intervallo.

Se vuoi un controllo rapido dopo aver impostato tutto da solo, prova la tua versione nel solver e confronta l’equazione della retta con il tuo risultato.