Interpolacja — metody liniowa, wielomianowa i Lagrange’a

Interpolacja oznacza szacowanie wartości między znanymi punktami danych. Jeśli wartość $x$, której szukasz, leży w zakresie danych, które już znasz, interpolacja daje sposób na oszacowanie brakującej wartości $y$.

Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, która używa prostej przechodzącej przez dwa punkty. Interpolacja wielomianowa wykorzystuje jeden wielomian, który dokładnie przechodzi przez kilka punktów. Interpolacja Lagrange’a to standardowy wzór pozwalający zapisać taki wielomian, gdy znane wartości $x$ są różne.

Jeśli nieznane $x$ leży poza znanym zakresem, masz do czynienia z ekstrapolacją. To inne zadanie i zwykle jest mniej wiarygodne.

Wzór na interpolację liniową

Załóżmy, że znasz punkty $(x_0, y_0)$ i $(x_1, y_1)$, gdzie $x_0 \ne x_1$. Dla wartości $x$ leżącej między $x_0$ i $x_1$ interpolacja liniowa ma postać

$$y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0)$$

Działa to tak, że bierzesz ułamek poziomej odległości od $x_0$ do $x$ i stosujesz ten sam ułamek pionowej zmiany od $y_0$ do $y_1$. Wynik jest dokładny, jeśli prawdziwa zależność jest liniowa na tym przedziale; w przeciwnym razie jest to lokalne przybliżenie.

Przykład interpolacji liniowej

Załóżmy, że znane punkty to $(1, 3)$ i $(4, 15)$, a chcesz znaleźć wartość dla $x = 2$.

Użyj wzoru na interpolację liniową:

$$y = 3 + \frac{2 - 1}{4 - 1}(15 - 3)$$

Teraz uprość:

$$y = 3 + \frac{1}{3} \cdot 12$$ $$y = 3 + 4 = 7$$

Zatem interpolowana wartość to $y = 7$. Ma to sens, ponieważ $x = 2$ leży w jednej trzeciej drogi od $1$ do $4$, więc wynik przesuwa się o jedną trzecią drogi od $3$ do $15$.

Interpolacja wielomianowa oznacza dokładne dopasowanie przez kilka punktów

Jeśli masz więcej niż dwa punkty o różnych wartościach $x$, interpolacja wielomianowa szuka jednego wielomianu przechodzącego przez wszystkie te punkty. Dla $n+1$ punktów o różnych wartościach $x$ istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia co najwyżej $n$, który je opisuje.

Na przykład dwa punkty wyznaczają prostą, trzy punkty wyznaczają co najwyżej funkcję kwadratową, a cztery punkty wyznaczają co najwyżej funkcję sześcienną. Jest to przydatne, gdy chcesz mieć gładki wzór, który dokładnie zgadza się z próbkowanymi wartościami.

Minusem jest to, że dokładne dopasowanie nie zawsze oznacza dobre zachowanie między punktami. Przy wielu punktach albo punktach szeroko od siebie oddalonych wielomian interpolacyjny wysokiego stopnia może silnie oscylować, zwłaszcza przy końcach przedziału.

Wzór interpolacji Lagrange’a

Interpolacja Lagrange’a to bezpośredni sposób zapisania wielomianu interpolacyjnego. Jeśli masz punkty $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ o różnych wartościach $x_i$, to postać Lagrange’a jest dana wzorem

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

gdzie

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Każdy wielomian bazowy $L_i(x)$ jest zbudowany tak, aby był równy $1$ w punkcie $x_i$ i $0$ dla pozostałych znanych wartości $x$. Dlatego suma zachowuje poprawne wartości $y_i$ w każdym punkcie danych.

Zwykle używa się postaci Lagrange’a, gdy chcesz otrzymać dokładny wielomian interpolacyjny z małego zbioru punktów. Jest ona przejrzysta pojęciowo, ale przy większych problemach numerycznych często wybiera się inne postacie, ponieważ są stabilniejsze obliczeniowo.

Interpolacja a ekstrapolacja

Interpolacja oznacza szacowanie wewnątrz znanego zakresu wartości $x$. Ekstrapolacja oznacza wychodzenie poza ten zakres.

Ta różnica ma znaczenie, ponieważ interpolacja pozostaje oparta na pobliskich danych. Ekstrapolacja może szybko zawieść, jeśli wzorzec zmienia się poza obserwowanym przedziałem.

Typowe błędy przy interpolacji

Używanie interpolacji poza zakresem danych

Jeśli $x$ leży poza znanym przedziałem, obliczenie nie jest już interpolacją. Staje się ekstrapolacją, która często jest mniej wiarygodna.

Zakładanie, że dokładne dopasowanie oznacza dokładny opis rzeczywistości

Wielomian może przechodzić dokładnie przez zmierzone punkty danych, a mimo to słabo opisywać rzeczywistą sytuację między nimi, zwłaszcza jeśli dane zawierają szum.

Zapominanie o warunku różnych wartości $x$

W standardowych wzorach interpolacyjnych znane wartości $x$ muszą być różne. Jeśli dwa punkty danych mają to samo $x$, ale różne wartości $y$, jedna funkcja nie może przechodzić przez oba.

Zbyt szybkie wybieranie wysokiego stopnia

Użycie wszystkich punktów danych w jednym dużym wielomianie może prowadzić do niestabilnego zachowania. W praktyce przy wielu punktach często preferuje się metody odcinkowe, takie jak splajny.

Gdzie stosuje się interpolację

Interpolacja pojawia się w analizie numerycznej, grafice komputerowej, odczycie z tablic, przetwarzaniu sygnałów i obliczeniach naukowych. Jest przydatna wszędzie tam, gdzie znasz wartości w wybranych punktach, ale potrzebujesz sensownej wartości pomiędzy nimi.

Na pierwszym kursie matematyki łączy też nachylenie, funkcje, wielomiany i przybliżenia w jedną ideę: wykorzystanie znanej struktury do oszacowania nieznanej wartości pośredniej.

Spróbuj podobnego zadania z interpolacji

Weź punkty $(2, 4)$ i $(8, 19)$ i oszacuj wartość dla $x = 5$ za pomocą interpolacji liniowej. Następnie zastanów się, czy użycie prostej wydaje się rozsądne na tym przedziale.

Jeśli chcesz szybko sprawdzić wynik po samodzielnym ułożeniu rozwiązania, wypróbuj własną wersję w solverze i porównaj równanie prostej ze swoim wynikiem.