微分方程的解法

学习微分方程的解法，首先要观察方程的“类型”。微分方程是包含函数 $y$ 及其导数 $\frac{dy}{dx}$ 的方程，其解不再是一个具体的数值，而是一个函数。对于初学者最先接触的“可分离变量形”方程，可以通过将 $x$ 和 $y$ 分离并分别积分来求解。

在本页中，我们将在简要确认微分方程定义后，通过一个例题来演示可分离变量法的解法。同时，我们也会提前提醒初学者容易陷入的误区。

什么是微分方程

例如：

$\frac{dy}{dx} = 2x$

或者

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

像这样包含未知函数 $y$ 及其导函数 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式就是微分方程。

这里我们要寻找的不是一个数，而是满足条件的函数 $y$。例如：

$y = x^2 + C$

就是满足 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 的一个解。如果有初始条件，$C$ 就会被确定，从而得到一个具体的特解。

解题的第一步：判断类型

微分方程不能用同一套步骤解决所有问题。首先要观察的是方程属于哪种类型。如果跳过这一步，盲目套用不合适的解法，很容易导致计算卡壳。

本页讨论的是“可分离变量形”。这种形式如下：

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

即能够轻易地将关于 $x$ 的部分和关于 $y$ 的部分分开。如果可以分离，则将其写成：

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

的形式，然后对两边进行积分。

但需要注意的是，如果在过程中除以了 $h(y)$，必须单独确认 $h(y)=0$ 的情况。如果忽略这一点，可能会漏掉常数解。

可分离变量法 5 个步骤

对于可分离变量形方程，解题流程非常清晰：

1. 确认是否为 $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ 的形式
2. 将包含 $y$ 的部分与包含 $x$ 的部分分开
3. 两边同时积分
4. 根据需要整理指数或对数，用 $y$ 来表示
5. 如果有初始条件，确定积分常数

比起计算速度，更重要的是意识到“在哪个步骤进行了除法”以及“该变形在什么条件下成立”。

例题：$\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

考虑以下初值问题：

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

由于右侧是 $2x \cdot y$，这是一个可分离变量形方程。由于初值为 $y(0)=3$，我们至少可以认为在 $x=0$ 附近 $y \ne 0$ 成立。在该范围内，除以 $y$ 得到：

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

于是可以将变量分离，写成：

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

两边积分得：

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

将其转换为指数函数形式：

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

将常数的符号一并吸收，可以写成：

$y = Ce^{x^2}$

此时利用初始条件 $y(0)=3$：

$3 = Ce^0 = C$

所以：

$y = 3e^{x^2}$

在这个例子中，比起计算形式本身，更应关注的是“是否能分离”以及“在中间步骤除以 $y$ 的条件是什么”。另外，对于该方程，$y=0$ 也是一个解，但它不符合初始条件 $y(0)=3$。

常见错误

1. 将同一套步骤直接套用在非可分离变量形的方程上。
2. 在两边积分后漏掉了积分常数 $C$。
3. 在将 $\ln|y|$ 转换为 $y$ 时，对绝对值或常数吸收的处理过于随意。
4. 在除以 $y$ 或 $h(y)$ 后，没有确认该量为 $0$ 的可能性。
5. 没有将初始条件应用到最后，而是在通解阶段就停止了。

特别是第 4 点，即使计算过程很完美，也可能导致漏掉答案。最稳妥的方法是在完成除法后，最后检查一遍“当该量为 $0$ 时，是否还存在其他解”。

微分方程的应用场景

当我们已知变化规律，并希望通过这种变化推导出原函数时，就会用到微分方程。不仅在数学课上，在通过速度求位置的问题、增减模型、电流或浓度变化追踪等问题中，基本思路都是一样的。

不过，并不是所有的微分方程都能通过分离变量法解决。一次线性微分方程、齐次形、二阶微分方程等，随着类型的改变，所使用的工具也不同。因此，解题的第一步永远是先判断“它是哪种类型”，而不是直接计算。

尝试练习

请尝试用同样的流程解决以下问题：

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

将 $y$ 分在左边，$x$ 分在右边进行积分，最后利用初始条件确定常数即可。

当你自己尝试类似问题时，请务必确认“在哪个步骤进行了除法”以及“是否有被漏掉的解”。只有包含这些确认步骤，才能真正掌握微分方程的解法。