Differentialgleichungen lösen

Um eine Differentialgleichung zu lösen, ist der erste Schritt immer die Analyse der Form der Gleichung. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion $y$ und ihre Ableitung $\frac{dy}{dx}$ enthält. Die Lösung ist hierbei keine einzelne Zahl, sondern eine Funktion. Wenn es sich um eine Gleichung mit trennbaren Variablen handelt – was oft das Erste ist, was man lernt –, kann man sie lösen, indem man $x$ und $y$ trennt und beide Seiten integriert.

Auf dieser Seite schauen wir uns kurz an, was Differentialgleichungen eigentlich sind, und lösen dann ein Beispiel für eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Gleichzeitig gehen wir auf Fehler ein, die Anfänger häufig machen.

Was ist eine Differentialgleichung?

Ein Beispiel wäre zum Beispiel:

$\frac{dy}{dx} = 2x$

oder

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion $y$ und deren Ableitung $\frac{dy}{dx}$ enthält, nennt man Differentialgleichung.

Gesucht ist hier nicht eine Zahl, sondern eine Funktion $y$, die die Bedingung erfüllt. Zum Beispiel ist

$y = x^2 + C$

eine Lösung, die $\frac{dy}{dx} = 2x$ erfüllt. Wenn Anfangsbedingungen gegeben sind, wird $C$ festgelegt und es ergibt sich eine einzige, konkrete Lösung.

Der erste Schritt: Die Form bestimmen

Differentialgleichungen lassen sich nicht immer mit demselben Verfahren lösen. Das Wichtigste zu Beginn ist zu erkennen, welchen Typ die Gleichung hat. Wer diesen Schritt überspringt, versucht oft eine unpassende Methode anzuwenden, wodurch man schnell bei den Berechnungen stecken bleibt.

Auf dieser Seite behandeln wir Gleichungen mit trennbaren Variablen. Diese haben die Form:

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

Hier lässt sich der Teil mit $x$ leicht vom Teil mit $y$ trennen. Wenn dies möglich ist, bringt man die Gleichung in die Form

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

und integriert beide Seiten.

Wichtig: Wenn man durch $h(y)$ teilt, muss man separat prüfen, ob der Fall $h(y)=0$ vorliegt. Wer das vergisst, übersieht unter Umständen konstante Lösungen.

Lösung von trennbaren Variablen in 5 Schritten

Bei trennbaren Variablen ist der Ablauf sehr klar strukturiert:

1. Prüfen, ob die Form $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ vorliegt.
2. Teile mit $y$ und Teile mit $x$ trennen.
3. Beide Seiten integrieren.
4. Falls nötig, Exponenten oder Logarithmen auflösen, um $y$ darzustellen.
5. Bei vorhandenen Anfangsbedingungen die Integrationskonstante bestimmen.

Wichtiger als die reine Rechengeschwindigkeit ist das Bewusstsein dafür, „durch was geteilt wurde“ und „unter welchen Bedingungen diese Umformung korrekt ist“.

Beispiel: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

Betrachten wir das folgende Anfangswertproblem:

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

Da die rechte Seite $2x \cdot y$ ist, handelt es sich um eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Da der Anfangswert $y(0)=3$ ist, können wir davon ausgehen, dass $y \ne 0$ in der Nähe von $x=0$ gilt. In diesem Bereich teilen wir durch $y$, sodass

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

ergibt. Nun trennen wir die Variablen:

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

Durch Integration beider Seiten erhalten wir:

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

Umgestellt als Exponentialfunktion ergibt dies:

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

Wenn wir das Vorzeichen der Konstante mit absorbieren, schreiben wir:

$y = Ce^{x^2}$

Nun setzen wir die Anfangsbedingung $y(0)=3$ ein:

$3 = Ce^0 = C$

Daraus folgt:

$y = 3e^{x^2}$

Der entscheidende Punkt an diesem Beispiel ist weniger die Rechnung an sich, sondern die Frage: „Ist die Gleichung trennbar?“ und „Unter welchen Bedingungen darf ich durch $y$ teilen?“. Übrigens wäre bei dieser Gleichung auch $y=0$ eine Lösung, allerdings passt diese nicht zur Anfangsbedingung $y(0)=3$.

Häufige Fehler

1. Die gleichen Schritte auf Gleichungen anzuwenden, die nicht trennbar sind.
2. Die Integrationskonstante $C$ nach dem Integrieren zu vergessen.
3. Bei der Umformung von $\ln|y|$ zu $y$ unsauber mit Beträgen oder der Absorption von Konstanten umzugehen.
4. Nach dem Teilen durch $y$ oder $h(y)$ nicht zu prüfen, ob dieser Wert $0$ sein könnte.
5. Die Anfangsbedingung nicht bis zum Ende zu nutzen und bei der allgemeinen Lösung stehen zu bleiben.

Besonders der vierte Punkt führt oft dazu, dass man trotz korrekter Rechnung Lösungen übersieht. Es ist sicherer, nach jeder Division zu prüfen: „Gibt es eine separate Lösung für den Fall, dass dieser Ausdruck $0$ ist?“.

Anwendungsbereiche von Differentialgleichungen

Differentialgleichungen tauchen immer dann auf, wenn man ein Gesetz über die Veränderung kennt und aus dieser Veränderung die ursprüngliche Funktion ableiten möchte. Das Prinzip ist nicht nur im Matheunterricht wichtig, sondern auch bei Aufgaben zur Bestimmung der Position aus der Geschwindigkeit, bei Wachstumsmodellen oder bei der Beobachtung von Strom- und Konzentrationsänderungen.

Allerdings lassen sich nicht alle Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen lösen. Je nach Typ – ob lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, homogene Gleichungen oder Differentialgleichungen zweiter Ordnung – ändern sich die Werkzeuge. Deshalb ist der erste Schritt immer: Erst den Typ bestimmen, dann rechnen.

Eine Übung zum Ausprobieren

Versuchen Sie, die folgende Aufgabe im gleichen Ablauf zu lösen:

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

Trennen Sie $y$ auf die linke und $x$ auf die rechte Seite, integrieren Sie und bestimmen Sie zum Schluss die Konstante über die Anfangsbedingung.

Wenn Sie eine weitere ähnliche Aufgabe lösen, achten Sie besonders darauf, „durch was Sie teilen“ und „ob dabei Lösungen verloren gehen“. Erst mit dieser Prüfung beherrscht man das Lösen von Differentialgleichungen wirklich.