Come risolvere le equazioni differenziali

Per risolvere un'equazione differenziale, il primo passo è identificare il "tipo" di equazione. Un'equazione differenziale è un'equazione che contiene una funzione $y$ e la sua derivata $\frac{dy}{dx}$; a differenza delle equazioni algebriche, la soluzione non è un numero, ma una funzione. Se ti trovi davanti a un'equazione a variabili separabili (una delle prime che si studiano), puoi risolverla separando $x$ e $y$ per poi procedere con l'integrazione.

In questa pagina vedremo brevemente cos'è un'equazione differenziale e risolveremo un esercizio passo dopo passo per capire il metodo delle variabili separabili. Inoltre, analizzeremo i classici errori in cui cadono gli studenti all'inizio.

Cos'è un'equazione differenziale?

Ad esempio, espressioni come

$\frac{dy}{dx} = 2x$

oppure

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

che includono una funzione incognita $y$ e la sua derivata $\frac{dy}{dx}$, sono equazioni differenziali.

L'obiettivo qui non è trovare un valore numerico, ma la funzione $y$ che soddisfa l'equazione. Per esempio,

$y = x^2 + C$

è una soluzione che soddisfa $\frac{dy}{dx} = 2x$. Se sono presenti delle condizioni iniziali, è possibile determinare $C$ e ottenere così una soluzione specifica e unica.

Il primo passo: identificare il modello

Le equazioni differenziali non si risolvono tutte con lo stesso procedimento. La prima cosa da fare è capire a quale "modello" appartiene l'equazione. Saltare questo passaggio porta spesso a tentare metodi non adatti, bloccando i calcoli.

In questa pagina tratteremo le equazioni a variabili separabili. Queste hanno una forma che permette di isolare facilmente le parti relative a $x$ e quelle relative a $y$, come in:

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

Se è possibile separarle, possiamo portarle nella forma:

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

e integrare entrambi i membri.

Tuttavia, se dividiamo per $h(y)$, dobbiamo verificare separatamente il caso in cui $h(y)=0$. Ignorare questo passaggio potrebbe portare a perdere delle soluzioni costanti.

Risolvere le variabili separabili in 5 step

Per le equazioni a variabili separabili, il flusso di lavoro è molto lineare:

1. Verificare se l'equazione è nella forma $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$.
2. Separare i termini che contengono $y$ da quelli che contengono $x$.
3. Integrare entrambi i membri.
4. Se necessario, semplificare esponenziali o logaritmi per esprimere $y$.
5. Determinare la costante di integrazione utilizzando le condizioni iniziali.

Più che la velocità di calcolo, è fondamentale essere consapevoli di "per cosa si è diviso" e "in quali condizioni tale trasformazione è corretta".

Esempio: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

Consideriamo il seguente problema di valore iniziale:

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

Poiché il membro di destra è $2x \cdot y$, si tratta di un'equazione a variabili separabili. Dato che il valore iniziale è $y(0)=3$, possiamo procedere considerando $y \ne 0$ nell'intorno di $x=0$. In questo intervallo, dividendo per $y$, otteniamo:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

Possiamo quindi separare le variabili scrivendo:

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

Integrando entrambi i membri otteniamo:

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

Convertendo il risultato in funzione esponenziale:

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

Assorbendo il segno della costante, possiamo scrivere:

$y = Ce^{x^2}$

Applicando ora la condizione iniziale $y(0)=3$:

$3 = Ce^0 = C$

quindi:

$y = 3e^{x^2}$

Il punto chiave di questo esempio non è tanto il calcolo in sé, quanto verificare se le variabili sono "separabili" e quali sono le condizioni per poter dividere per $y$. Nota che in questa equazione anche $y=0$ è una soluzione, ma non soddisfa la condizione iniziale $y(0)=3$.

Errori comuni

1. Applicare questo procedimento a equazioni che non sono a variabili separabili.
2. Dimenticare la costante di integrazione $C$ dopo aver integrato entrambi i membri.
3. Gestire in modo approssimativo i valori assoluti o l'assorbimento delle costanti nel passaggio da $\ln|y|$ a $y$.
4. Non verificare se il termine per cui si è diviso (come $y$ o $h(y)$) possa essere uguale a $0$.
5. Fermarsi alla soluzione generale senza utilizzare le condizioni iniziali per trovare la soluzione particolare.

Il quarto punto, in particolare, è una causa comune di perdita di soluzioni, anche quando i calcoli sembrano corretti. Dopo ogni divisione, è sempre sicuro chiedersi: "Se questo termine fosse $0$, esisterebbe un'altra soluzione?".

Dove vengono utilizzate le equazioni differenziali

Le equazioni differenziali appaiono quando conosciamo la legge che governa la variazione di un fenomeno e vogliamo risalire alla funzione originale. Non solo nelle lezioni di matematica, ma anche in problemi di fisica per trovare la posizione partendo dalla velocità, in modelli di crescita e decrescita, o nello studio di variazioni di corrente elettrica e concentrazioni chimiche.

Tuttavia, non tutte le equazioni differenziali sono risolvibili per separazione delle variabili. Esistono equazioni differenziali lineari del primo ordine, omogenee, del secondo ordine e molte altre; al variare del modello cambia lo strumento di risoluzione. Per questo, il primo passo fondamentale è sempre identificare il "tipo" di equazione prima di iniziare a calcolare.

Un esercizio per fare pratica

Prova a risolvere seguendo lo stesso procedimento:

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

Sposta $y$ a sinistra, $x$ a destra, integra e infine usa la condizione iniziale per determinare la costante.

Quando provi a risolvere un altro esercizio simile, assicurati di controllare "dove hai diviso" e "se sono state perse delle soluzioni". Imparerai a padroneggiare le equazioni differenziali proprio attraverso queste verifiche.