미분방정식 푸는 법

미분방정식을 푸는 핵심은 먼저 식의 '형태'를 파악하는 것입니다. 미분방정식은 함수 $y$와 그 도함수 $\frac{dy}{dx}$를 포함하는 방정식으로, 답은 숫자가 아니라 함수가 됩니다. 처음 배우게 되는 경우가 많은 '변수분리형'이라면, $x$과 $y$을 분리하여 적분하는 흐름으로 풀 수 있습니다.

이 페이지에서는 미분방정식이 무엇인지 짧게 확인한 후, 변수분리형 풀이법을 예제 한 문제로 살펴보겠습니다. 아울러 입문자가 실수하기 쉬운 포인트들도 미리 짚어보겠습니다.

미분방정식이란 무엇인가

예를 들어

$\frac{dy}{dx} = 2x$

이나

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

처럼, 미지의 함수 $y$와 그 도함수 $\frac{dy}{dx}$를 포함하는 식이 미분방정식입니다.

여기서 구하고자 하는 것은 숫자가 아니라, 조건을 만족하는 함수 $y$입니다. 예를 들어

$y = x^2 + C$

는 $\frac{dy}{dx} = 2x$를 만족하는 해가 됩니다. 초기 조건이 주어진다면 $C$이 결정되어 하나의 구체적인 해가 나옵니다.

풀이의 첫 단계는 '형태' 판단

미분방정식은 항상 같은 순서로 풀 수 없습니다. 가장 먼저 확인해야 할 것은 식이 어떤 형태인지입니다. 이 단계를 건너뛰면 맞지 않는 풀이법을 적용하게 되어 계산이 막히기 쉽습니다.

이 페이지에서 다루는 것은 '변수분리형'입니다. 이는

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

와 같이 $x$에 관한 부분과 $y$에 관한 부분을 나누기 쉬운 형태입니다. 분리가 가능하다면,

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

의 형태로 만들어 양변을 적분합니다.

단, $h(y)$으로 나눌 때는 $h(y)=0$이 되는 경우를 별도로 확인해야 합니다. 이 부분을 놓치면 상수해(constant solution)를 빠뜨릴 수 있습니다.

변수분리형 풀이 5단계

변수분리형의 풀이 흐름은 매우 명확합니다.

1. $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ 형태인지 확인한다.
2. $y$를 포함하는 부분과 $x$을 포함하는 부분을 분리한다.
3. 양변을 적분한다.
4. 필요하다면 지수나 로그를 정리하여 $y$을 나타낸다.
5. 초기 조건이 있다면 적분 상수를 결정한다.

계산 속도보다 '어디서 나누었는가'와 '그 변형이 어떤 조건에서 옳은가'를 의식하는 것이 더 중요합니다.

예제: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

다음 초기값 문제를 생각해 봅시다.

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

우변이 $2x \cdot y$이므로 이는 변수분리형입니다. 초기값이 $y(0)=3$이므로, 적어도 $x=0$ 근처에서는 $y \ne 0$라고 보고 진행할 수 있습니다. 그 범위에서 $y$로 나누면,

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

이 되므로 변수를 분리하여

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

라고 쓸 수 있습니다. 양변을 적분하면,

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

입니다. 이를 지수함수로 바꾸면,

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

이 됩니다. 상수의 부호까지 한꺼번에 흡수하여 정리하면,

$y = Ce^{x^2}$

라고 쓸 수 있습니다. 여기서 초기 조건 $y(0)=3$을 사용하면,

$3 = Ce^0 = C$

이므로,

$y = 3e^{x^2}$

입니다.

이 예제에서 주목해야 할 점은 계산 과정 자체보다 '분리할 수 있는가'와 '중간에 $y$로 나누어도 되는 조건은 무엇인가'입니다. 참고로 이 방정식에서는 $y=0$도 해가 되지만, 초기 조건 $y(0)=3$에는 맞지 않습니다.

자주 하는 실수

1. 변수분리형이 아닌 식에 동일한 절차를 그대로 적용하는 것.
2. 양변을 적분한 후 적분 상수 $C$를 빠뜨리는 것.
3. $\ln|y|$에서 $y$로 정리할 때, 절댓값이나 상수의 흡수 처리를 소홀히 하는 것.
4. $y$나 $h(y)$으로 나눈 후, 그 값이 $0$이 될 가능성을 확인하지 않는 것.
5. 초기 조건을 끝까지 사용하지 않고 일반해 상태에서 멈추는 것.

특히 네 번째 실수는 계산 자체는 깔끔해 보여도 답을 놓치게 만드는 원인이 됩니다. 나눗셈을 했다면, "그 값이 $0$인 경우에 별도의 해를 갖지는 않는가"를 마지막에 다시 확인하는 것이 안전합니다.

미분방정식이 사용되는 상황

미분방정식은 변화의 법칙을 알고 있을 때, 그 변화를 통해 원래의 함수를 구하고 싶을 때 등장합니다. 수학 수업뿐만 아니라 속도로부터 위치를 구하는 문제, 증감 모델, 전류나 농도의 변화를 추적하는 문제에서도 기본적인 생각은 같습니다.

다만, 모든 미분방정식을 변수분리로 풀 수 있는 것은 아닙니다. 1계 선형 미분방정식, 동차형, 2계 미분방정식 등 형태가 바뀌면 도구도 바뀝니다. 그렇기에 첫걸음은 계산보다 먼저 '어떤 형태인가'를 파악하는 것입니다.

다음으로 도전해 볼 문제

먼저

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

를 같은 흐름으로 풀어보세요. $y$를 왼쪽으로, $x$을 오른쪽으로 분리하여 적분하고, 마지막에 초기 조건으로 상수를 결정하면 풀 수 있습니다.

비슷한 문제를 스스로 한 번 더 풀 때는 '어디서 나누었는지'와 '그때 빠지는 해는 없는지'까지 확인해 보세요. 미분방정식 풀이법은 이 확인 과정까지 포함해야 완전히 내 것이 됩니다.