Comment résoudre les équations différentielles

Pour résoudre une équation différentielle, la première étape consiste à identifier la forme de l'équation. Une équation différentielle est une équation qui contient une fonction $y$ et sa dérivée $\frac{dy}{dx}$ ; la solution n'est donc pas un nombre, mais une fonction. Si vous débutez avec la méthode de séparation des variables, la logique consiste à isoler $x$ d'un côté et $y$ de l'autre avant d'intégrer.

Sur cette page, nous allons rapidement définir ce qu'est une équation différentielle, puis nous verrons la résolution d'un exercice par séparation des variables. Nous aborderons également les erreurs classiques pour vous aider à éviter les pièges.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Par exemple, des expressions comme :

$\frac{dy}{dx} = 2x$

ou

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

qui contiennent une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $\frac{dy}{dx}$, sont des équations différentielles.

Ici, ce que l'on cherche n'est pas une valeur numérique, mais la fonction $y$ qui satisfait l'équation. Par exemple,

$y = x^2 + C$

est une solution qui satisfait $\frac{dy}{dx} = 2x$. Si une condition initiale est donnée, $C$ est alors déterminé, ce qui nous donne une solution unique et concrète.

La priorité : identifier la forme de l'équation

On ne peut pas résoudre toutes les équations différentielles avec la même méthode. La première chose à vérifier est de savoir à quel type d'équation vous faites face. Si vous sautez cette étape, vous risquez d'appliquer une méthode inappropriée et de bloquer dans vos calculs.

Nous traitons ici la séparation des variables. C'est une forme où l'on peut facilement séparer les termes en $x$ et ceux en $y$, comme ceci :

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

Si la séparation est possible, on peut réécrire l'équation sous la forme :

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

puis intégrer les deux côtés.

Cependant, si vous divisez par $h(y)$, vous devez vérifier séparément le cas où $h(y)=0$. Si vous oubliez cette étape, vous pourriez manquer une solution constante.

Résolution par séparation des variables en 5 étapes

Pour ce type d'équation, la démarche est très structurée :

1. Vérifier si l'équation est de la forme $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$.
2. Séparer les termes contenant $y$ et ceux contenant $x$.
3. Intégrer les deux côtés de l'équation.
4. Si nécessaire, simplifier les exponentielles ou les logarithmes pour exprimer $y$.
5. Utiliser la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration.

Plus que la rapidité du calcul, il est crucial de rester attentif à « où vous avez divisé » et « dans quelles conditions cette transformation est valide ».

Exemple : $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

Considérons le problème à valeur initiale suivant :

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

Le membre de droite est $2x \cdot y$, il s'agit donc d'une équation à variables séparables. Comme la valeur initiale est $y(0)=3$, nous pouvons considérer que $y \ne 0$ est valable au voisinage de $x=0$. En divisant par $y$ dans cet intervalle, on obtient :

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

On peut alors séparer les variables :

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

En intégrant les deux côtés, nous avons :

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

En convertissant cela en fonction exponentielle :

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

En absorbant le signe de la constante, on peut écrire :

$y = Ce^{x^2}$

En utilisant maintenant la condition initiale $y(0)=3$ :

$3 = Ce^0 = C$

On en déduit donc :

$y = 3e^{x^2}$

L'essentiel ici n'est pas tant le calcul lui-même, mais la vérification de la « possibilité de séparation » et des « conditions permettant de diviser par $y$ ». Notez que pour cette équation, $y=0$ est également une solution, mais elle ne satisfait pas la condition initiale $y(0)=3$.

Erreurs courantes

1. Appliquer cette méthode à une équation qui n'est pas à variables séparables.
2. Oublier la constante d'intégration $C$ après avoir intégré les deux côtés.
3. Être imprécis avec les valeurs absolues ou l'absorption des constantes lors du passage de $\ln|y|$ à $y$.
4. Diviser par $y$ ou $h(y)$ sans vérifier si cette quantité peut être égale à $0$.
5. S'arrêter à la solution générale sans utiliser la condition initiale pour finaliser le résultat.

Le quatrième point est particulièrement piégeux : même si le calcul semble propre, vous pourriez perdre une solution. Prenez l'habitude de vous demander : « Si cette quantité vaut $0$, existe-t-il une autre solution ? ».

Applications des équations différentielles

On utilise les équations différentielles lorsque l'on connaît la loi de variation d'un phénomène et que l'on souhaite retrouver la fonction d'origine. Ce concept ne se limite pas aux cours de mathématiques ; on le retrouve dans le calcul de la position à partir de la vitesse, les modèles de croissance et de décroissance, ou encore l'étude de l'évolution d'un courant électrique ou d'une concentration chimique.

Toutefois, toutes les équations différentielles ne se résolvent pas par séparation des variables. Selon le type (équations linéaires du premier ordre, homogènes, équations du second ordre, etc.), les outils changent. C'est pourquoi la première étape est toujours d'identifier la forme de l'équation.

À vous de jouer !

Essayez de résoudre l'exercice suivant en suivant la même méthode :

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

Séparez $y$ à gauche et $x$ à droite, intégrez, puis utilisez la condition initiale pour trouver la constante.

En vous entraînant, essayez de bien identifier « où vous divisez » et « s'il n'y a pas de solution perdue ». C'est en pratiquant ces vérifications que vous maîtriserez réellement la résolution des équations différentielles.