微分方程式の解き方

微分方程式の解き方は、まず式の型を見ることです。微分方程式は関数 $y$ とその微分 $\frac{dy}{dx}$ を含む方程式で、答えは数ではなく関数になります。最初に学ぶことが多い変数分離形なら、$x$ と $y$ を分けて積分する流れで解けます。

このページでは、微分方程式とは何かを短く確認したあと、変数分離形の解き方を1問で見ます。あわせて、初学者がつまずきやすいミスも先に押さえます。

微分方程式とは何か

たとえば

$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

や

$$\frac{dy}{dx} = 2xy$$

のように、未知の関数 $y$ とその導関数 $\frac{dy}{dx}$ を含む式が微分方程式です。

ここで求めたいのは数ではなく、条件を満たす関数 $y$ です。たとえば

$$y = x^2 + C$$

は $\frac{dy}{dx} = 2x$ を満たす解です。初期条件があれば、$C$ が決まって1つの具体的な解になります。

解き方の最初の判断は型

微分方程式は、いつも同じ手順では解けません。最初に見るべきなのは、式がどの型かです。ここを飛ばすと、合わない解法を当てて計算が止まりやすくなります。

このページで扱うのは変数分離形です。これは

$$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

のように、$x$ に関する部分と $y$ に関する部分を分けやすい形です。分けられるなら、

$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$

の形にして、両辺を積分します。

ただし、$h(y)$ で割るなら $h(y)=0$ になる場合を別に確認する必要があります。ここを飛ばすと、定数解を落とすことがあります。

変数分離形の解き方 5ステップ

変数分離形では、流れはかなりはっきりしています。

1. $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ の形かを確認する
2. $y$ を含む部分と $x$ を含む部分を分ける
3. 両辺を積分する
4. 必要なら指数や対数を整理して $y$ を表す
5. 初期条件があれば積分定数を決める

計算の速さより、「どこで割ったか」と「その変形がどんな条件で正しいか」を意識するほうが大切です。

例題: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

次の初期値問題を考えます。

$$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$$

右辺が $2x \cdot y$ なので、これは変数分離形です。初期値が $y(0)=3$ なので、少なくとも $x=0$ の近くでは $y \ne 0$ と見て進められます。その範囲で $y$ で割ると、

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$$

となるので、変数を分けて

$$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$$

と書けます。両辺を積分すると、

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$$ $$\ln|y| = x^2 + C$$

です。これを指数関数で直すと、

$$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$$

となります。定数の符号もまとめて吸収すれば、

$$y = Ce^{x^2}$$

と書けます。ここで初期条件 $y(0)=3$ を使うと、

$$3 = Ce^0 = C$$

なので、

$$y = 3e^{x^2}$$

です。

この例で見るべき点は、計算の形そのものよりも「分離できるか」と「途中で $y$ で割ってよい条件は何か」です。なお、この方程式では $y=0$ も解ですが、初期条件 $y(0)=3$ には合いません。

よくあるミス

1. 変数分離形ではない式に、同じ手順をそのまま使うこと。
2. 両辺を積分したあとで積分定数 $C$ を落とすこと。
3. $\ln|y|$ から $y$ を直すときに、絶対値や定数の吸収を雑に処理すること。
4. $y$ や $h(y)$ で割ったあと、その量が $0$ になる可能性を確認しないこと。
5. 初期条件を最後まで使わず、一般解のままで止めること。

特に4つ目は、計算自体はきれいでも答えを落とす原因になります。割り算をしたら、「その量が $0$ の場合は別に解を持たないか」を最後に見直すのが安全です。

微分方程式が使われる場面

微分方程式は、変化の法則がわかっていて、その変化から元の関数を求めたいときに出てきます。数学の授業だけでなく、速度から位置を求める問題、増減のモデル、電流や濃度の変化を追う問題でも基本の考え方は同じです。

ただし、すべての微分方程式が変数分離で解けるわけではありません。一次線形微分方程式、同次形、2階の微分方程式など、型が変われば道具も変わります。だから最初の一歩は、計算より先に「どの型か」を見ることです。

次に試す1問

まずは

$$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$$

を同じ流れで解いてみてください。$y$ を左、$x$ を右に分けて積分し、最後に初期条件で定数を決めれば進められます。

似た問題を自分でもう1問解くときは、「どこで割ったか」と「そのとき落ちる解がないか」まで確認してみてください。微分方程式の解き方は、この確認まで含めて身につきます。