Como resolver equações diferenciais

Para resolver equações diferenciais, o primeiro passo é identificar o tipo da equação. Uma equação diferencial é aquela que contém uma função $y$ e sua derivada $\frac{dy}{dx}$, e a resposta não é um número, mas sim uma função. No caso das equações separáveis, que costumam ser as primeiras a serem estudadas, a resolução segue o fluxo de separar $x$ e $y$ para então integrar.

Nesta página, faremos uma breve revisão sobre o que são equações diferenciais e veremos a resolução de uma equação separável através de um exemplo. Além disso, vamos destacar os erros mais comuns para que você não tropece neles logo no início.

O que é uma equação diferencial?

Por exemplo,

$\frac{dy}{dx} = 2x$

ou

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

são equações diferenciais, pois contêm uma função desconhecida $y$ e sua derivada $\frac{dy}{dx}$.

O que buscamos aqui não é um valor numérico, mas a função $y$ que satisfaça a equação. Por exemplo,

$y = x^2 + C$

é uma solução que satisfaz $\frac{dy}{dx} = 2x$. Se houver uma condição inicial, $C$ será determinado, resultando em uma solução específica.

O primeiro passo: Identificar o tipo

Equações diferenciais não podem ser resolvidas sempre com o mesmo procedimento. A primeira coisa a se observar é a qual tipo a equação pertence. Pular essa etapa pode levar você a tentar aplicar um método inadequado, travando os cálculos.

Nesta página, focaremos nas equações separáveis. Elas possuem a forma

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

onde é fácil separar a parte relativa a $x$ da parte relativa a $y$. Se for possível separar, organizamos a equação como:

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

e integramos ambos os lados.

No entanto, se você dividir por $h(y)$, precisará verificar separadamente o caso em que $h(y)=0$. Ignorar isso pode fazer com que você perca soluções constantes.

5 passos para resolver equações separáveis

O fluxo de resolução para equações separáveis é bem definido:

1. Verificar se a equação está na forma $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$.
2. Separar a parte que contém $y$ da parte que contém $x$.
3. Integrar ambos os lados.
4. Se necessário, organizar exponenciais ou logaritmos para expressar $y$.
5. Se houver condição inicial, determinar a constante de integração.

Mais importante do que a velocidade do cálculo é estar atento a "onde você dividiu" e "sob quais condições essa transformação é válida".

Exemplo: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

Considere o seguinte problema de valor inicial:

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

Como o lado direito é $2x \cdot y$, trata-se de uma equação separável. Dado que o valor inicial é $y(0)=3$, podemos assumir que $y \ne 0$ nas proximidades de $x=0$. Nesse intervalo, dividindo por $y$, temos:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

Assim, separando as variáveis:

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

Integrando ambos os lados:

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

Convertendo para a forma exponencial:

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

Absorvendo o sinal da constante, podemos escrever:

$y = Ce^{x^2}$

Aplicando a condição inicial $y(0)=3$:

$3 = Ce^0 = C$

Portanto,

$y = 3e^{x^2}$

O ponto principal deste exemplo não é apenas a álgebra, mas sim "se é possível separar" e "qual a condição para dividir por $y$". Note que, nesta equação, $y=0$ também é uma solução, mas não satisfaz a condição inicial $y(0)=3$.

Erros comuns

1. Aplicar este procedimento em equações que não são separáveis.
2. Esquecer a constante de integração $C$ após integrar ambos os lados.
3. Tratar de forma descuidada os valores absolutos ou a absorção de constantes ao passar de $\ln|y|$ para $y$.
4. Não verificar a possibilidade de a expressão ser $0$ após dividir por $y$ ou $h(y)$.
5. Parar na solução geral sem aplicar a condição inicial até o fim.

O quarto ponto, especialmente, é uma causa comum de perda de soluções, mesmo que o cálculo pareça correto. Sempre que fizer uma divisão, verifique se "não existe outra solução para o caso em que esse valor seja $0$".

Onde as equações diferenciais são aplicadas?

As equações diferenciais surgem quando conhecemos a lei de variação de algo e queremos encontrar a função original a partir dessa variação. Esse conceito fundamental é usado não apenas em aulas de matemática, mas em problemas para encontrar a posição a partir da velocidade, modelos de crescimento e decréscimo, e mudanças de corrente elétrica ou concentração química.

Contudo, nem toda equação diferencial pode ser resolvida por separação de variáveis. Dependendo do tipo — como equações diferenciais lineares de primeira ordem, equações homogêneas ou equações de segunda ordem — as ferramentas mudam. Por isso, o primeiro passo deve ser sempre identificar "qual é o tipo" antes de começar a calcular.

Exercício para praticar

Tente resolver a seguinte equação seguindo o mesmo fluxo:

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

Separe $y$ para a esquerda e $x$ para a direita, integre e, por fim, use a condição inicial para determinar a constante.

Ao resolver problemas semelhantes, tente verificar "onde você dividiu" e "se alguma solução foi perdida nesse processo". O domínio das equações diferenciais vem justamente dessa atenção aos detalhes.