Durum Uzayı Gösterimi

Durum uzayı gösterimi, dinamik bir sistemi birinci dereceden denklemler kümesi olarak yeniden yazar. Tek bir daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemle çalışmak yerine, bir sonraki anda ne olacağını öngörmek için gereken bilgiyi taşıyan bir durum vektörünü izlersiniz.

Bir diferansiyel denklemin durum uzayı biçimine nasıl dönüştürüleceğini aradıysanız, temel fikir şudur: durum değişkenlerini seçin, her değişkenin türevi için bir denklem yazın ve modeli birinci dereceden tutun.

Tek Bir Tanımla Durum Uzayı Gösterimi

Genel olarak bir durum uzayı modeli şu şekilde yazılabilir:

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Burada $x(t)$ durum vektörüdür, $u(t)$ ise sistemde varsa girdidir. Sistem doğrusal ve zamanla değişmeyen ise aynı fikir şu matris biçimini alır:

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Bu matris gösterimi kontrol teorisi ve diferansiyel denklemlerde yaygındır, ancak durum uzayı doğrusal durumdan daha geniş bir çerçevedir.

Durum Ne Anlama Gelir?

Durum, girdi bilindiğinde gelecekteki davranışı belirlemenizi sağlayan o andaki niceliklerin tümüdür. Hareket eden bir cisim için yalnızca konum genellikle yeterli değildir. Konum ve hız birlikte çoğu zaman yeterlidir.

Durum uzayı gösteriminin yararlı olmasının nedeni budur. Zamana göre değişim problemini, analiz etmesi, benzetmesi ve matris yöntemleriyle ilişkilendirmesi daha kolay olan standart bir birinci dereceden biçime dönüştürür.

Bir Sistem Neden Bu Şekilde Yeniden Yazılır?

Birçok model daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler olarak başlar. Durum uzayı biçimi, alttaki dinamiği değiştirmeden bunları yeniden yazar.

Bu önemlidir çünkü birinci dereceden sistemler tek bir yapıya uyar. Bir model bu yapıya getirildiğinde, başlangıç koşulları, girdiler, çıktılar ve kararlılık hakkında tutarlı bir şekilde konuşmak daha kolay olur.

Çözümlü Örnek: İkinci Dereceden Bir Denklemi Durum Uzayına Dönüştürme

Şununla başlayın:

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Burada $u(t)$ bir girdidir. Sistemin o andaki durumunu yakalayan durum değişkenlerini seçin:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Şimdi her durum değişkeni için birinci dereceden bir denklem yazın. $x_1 = y$ olduğuna göre,

$$x_1' = x_2$$

$x_2 = y'$ olduğundan, ayrıca $x_2' = y''$ elde ederiz. Başlangıçtaki denklemi yeniden düzenlersek

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

elde edilir. Şimdi $y = x_1$ ve $y' = x_2$ yazalım:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Böylece durum denklemleri

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

olur.

Vektör biçiminde, eğer

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

ise bu ifade

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

şeklini alır.

Çıktı özgün nicelik olan $y$ ise,

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

yazılır.

Buradaki temel adım, tek bir ikinci dereceden denklemi iki birinci dereceden denkleme dönüştürmektir. Durum uzayı gösteriminin özü budur.

Bu Örnekte Dikkat Edilmesi Gerekenler

Durum değişkenleri bir nedenle bu şekilde seçildi. Bu seçim, modeli birinci dereceden bir sistem olarak yazmayı mümkün kılar.

Ayrıca çıktının $y$, tam durum vektörüyle aynı şey olmadığına dikkat edin. Bu örnekte $y = x_1$ iken tam durum $(x_1, x_2)$'dir. Bu kavramlar bazen örtüşebilir, ancak kendiliğinden aynı değildir.

Durum Uzayı Biçimine Dönüştürürken Yapılan Yaygın Hatalar

Durumu çıktı ile karıştırmak

Durum, sistemin evrilmesi için gereken iç değişkenleri içerir. Çıktı ise gözlemlemeyi seçtiğiniz niceliktir. Bazen örtüşürler, ancak otomatik olarak aynı değildirler.

Gösterimin tek olduğunu sanmak

Genellikle değildir. Yeterli bilgiyi taşıdıkları sürece, farklı durum değişkeni seçimleri aynı dinamiği tanımlayabilir.

Birinci dereceden olma şartını unutmak

Bir durum uzayı modeli, durum değişkenleri cinsinden birinci dereceden denklemlerle yazılır. Eğer hâlâ bir durum değişkeninin ikinci türevi kalmışsa, yeniden yazma işlemi tamamlanmamıştır.

Her modeli doğrusal kabul etmek

$A$, $B$, $C$ ve $D$ ile yazılan matris biçimi yalnızca denklemler seçilen durum değişkenlerine göre doğrusal olduğunda geçerlidir. Doğrusal olmayan sistemler de durum uzayı kullanır, ancak sabit matrisler yerine fonksiyonlarla yazılır.

Durum Uzayı Gösterimi Nerelerde Kullanılır?

Durum uzayı gösterimi diferansiyel denklemlerde, kontrol teorisinde, sinyal işlemede, robotikte ve fizikte karşınıza çıkar. Özellikle bir sistemin zamanla nasıl değiştiği ve girdilerin bu değişimi nasıl etkilediğiyle ilgileniyorsanız çok kullanışlıdır.

Model doğrusal ise matris yöntemleri özellikle yararlı hâle gelir. Örneğin $A$ matrisinin özdeğerleri büyüme, sönüm veya salınımı açıklamaya yardımcı olabilir; ancak bu yalnızca modele yerleştirilmiş varsayımlar altında geçerlidir.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

Şunu alın:

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

ve $x_1 = y$, $x_2 = y'$ seçin. Bunu bir birinci dereceden sistem olarak yeniden yazın, sonra $A$ matrisini belirleyin. Bu mantık oturursa, girdi terimi içeren benzer bir soruyu deneyin ve $B$ matrisinin nasıl ortaya çıktığını görün.