什么是状态变量？

状态变量是指在当前时刻已知输入后，用来确定系统下一步如何演化所需的那些量之一。

状态空间表示只适用于线性系统吗？

不是。状态空间是一种通用框架。矩阵形式 $x'(t) = Ax(t) + Bu(t)$ 只是当模型关于所选状态变量是线性时使用的一种特殊情况。

状态空间表示把一个动态系统改写成一组一阶方程。与其处理一个高阶微分方程，不如跟踪一个状态向量，其中包含预测系统下一步行为所需的信息。

如果你搜索过“如何把微分方程化为状态空间形式”，核心思路就是：选取状态变量，为每个变量的导数写出方程，并让整个模型保持为一阶形式。

一般来说，状态空间模型可以写成

x'(t) = f(x(t), u(t), t)

这里， $x(t)$ 是状态向量；如果系统有输入， $u(t)$ 就表示输入。当系统是线性时不变系统时，同样的思想可以写成矩阵形式

x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)

这种矩阵写法在控制理论和微分方程中很常见，但状态空间的概念并不局限于线性情形。

状态是当前各个量的集合；一旦输入已知，这些量就足以确定系统未来的行为。对于一个运动物体来说，只有位置通常还不够，位置和速度一起往往才够。

这正是状态空间表示有用的原因。它把一个随时间演化的问题，转化为标准的一阶形式，更便于分析、仿真，以及与矩阵方法结合。

很多模型一开始都是高阶微分方程。状态空间形式是在不改变系统本质动力学的前提下，对它们进行改写。

这很重要，因为一阶系统可以统一到同一种结构中。模型一旦写成这种结构，就更容易一致地讨论初始条件、输入、输出和稳定性。

从下面的方程开始：

y'' + 3y' + 2y = u(t)

这里 $u(t)$ 是输入。先选取能够刻画系统当前状态的状态变量：

x_1 = y, \qquad x_2 = y'

现在为每个状态变量写出一个一阶方程。由于 $x_1 = y$ ，

x_1' = x_2

由于 $x_2 = y'$ ，所以也有 $x_2' = y''$ 。把原方程整理后得到

y'' = -3y' - 2y + u(t)

再代入 $y = x_1$ 和 $y' = x_2$ ：

x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)

因此，状态方程为

\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}

写成向量形式，令

x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},

则有

x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)

如果输出是原来的量 $y$ ，那么

y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x

关键步骤，就是把一个二阶方程转化为两个一阶方程。这正是状态空间表示的核心。

状态变量的选择是有原因的。这样的选取方式使模型能够写成一阶系统。

还要注意，输出 $y$ 并不等同于完整的状态向量。在这个例子中， $y = x_1$ ，而完整状态是 $(x_1, x_2)$ 。这两个概念有时会重合，但并不天然相同。

状态包含系统演化所需的内部变量。输出则是你选择观测的量。有时两者会重合，但并不自动相同。

通常并不是。只要能包含足够的信息，不同的状态变量选择都可以描述同样的动力学。

状态空间模型必须写成关于状态变量的一阶方程组。如果你最后还保留着某个状态变量的二阶导数，那就说明改写还没有完成。

只有当方程关于所选状态变量是线性的，才可以使用带有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的矩阵形式。非线性系统同样可以用状态空间表示，只不过它们写成函数形式，而不是常系数矩阵。

状态空间表示广泛出现在微分方程、控制理论、信号处理、机器人学和物理学中。尤其当你关心系统如何随时间变化，以及输入如何影响这种变化时，它特别有用。

如果模型是线性的，矩阵方法会尤其方便。例如，矩阵 $A$ 的特征值可以帮助描述增长、衰减或振荡，但这仍然依赖于模型本身所作的假设。

考虑

y'' + 4y' + 5y = 0

并取 $x_1 = y$ 、 $x_2 = y'$ 。把它改写成一阶系统，然后写出矩阵 $A$ 。如果你已经理解了，再试一个带输入项的类似题目，看看矩阵 $B$ 是如何出现的。

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