การแทนระบบในปริภูมิสถานะ

การแทนระบบในปริภูมิสถานะคือการเขียนระบบพลวัตใหม่ให้อยู่ในรูปของสมการอันดับหนึ่งหลายสมการ แทนที่จะทำงานกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงเพียงสมการเดียว เราจะติดตามเวกเตอร์สถานะที่เก็บข้อมูลซึ่งจำเป็นต่อการทำนายว่าระบบจะเกิดอะไรขึ้นต่อไป

ถ้าคุณค้นหาวิธีแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ให้อยู่ในรูป state-space นี่คือแนวคิดหลัก: เลือกตัวแปรสถานะ เขียนสมการสำหรับอนุพันธ์ของแต่ละตัวแปร และทำให้แบบจำลองอยู่ในรูปอันดับหนึ่ง

นิยามของการแทนระบบในปริภูมิสถานะ

โดยทั่วไป แบบจำลองปริภูมิสถานะสามารถเขียนได้เป็น

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

ที่นี่ $x(t)$ คือเวกเตอร์สถานะ และ $u(t)$ คืออินพุตถ้าระบบมีอินพุต หากระบบเป็นเชิงเส้นและไม่แปรตามเวลา แนวคิดเดียวกันนี้จะเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

รูปเมทริกซ์นี้พบได้บ่อยในวิชาการควบคุมและสมการเชิงอนุพันธ์ แต่ปริภูมิสถานะมีความกว้างกว่ากรณีเชิงเส้น

สถานะหมายถึงอะไร

สถานะคือชุดของปริมาณปัจจุบันที่ทำให้คุณสามารถกำหนดพฤติกรรมในอนาคตได้ เมื่อทราบอินพุตแล้ว สำหรับวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ตำแหน่งเพียงอย่างเดียวมักไม่เพียงพอ แต่ตำแหน่งและความเร็วร่วมกันมักเพียงพอ

นี่จึงเป็นเหตุผลที่การแทนระบบในปริภูมิสถานะมีประโยชน์ มันเปลี่ยนปัญหาการเปลี่ยนแปลงตามเวลาให้อยู่ในรูปอันดับหนึ่งมาตรฐาน ซึ่งวิเคราะห์ จำลอง และเชื่อมโยงกับวิธีเชิงเมทริกซ์ได้ง่ายกว่า

ทำไมต้องเขียนระบบใหม่ในรูปนี้

แบบจำลองจำนวนมากเริ่มต้นจากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง รูปปริภูมิสถานะจะเขียนมันใหม่โดยไม่เปลี่ยนพลวัตพื้นฐานของระบบ

สิ่งนี้สำคัญเพราะระบบอันดับหนึ่งทั้งหมดเข้ากับโครงสร้างเดียวกัน เมื่อแบบจำลองอยู่ในโครงสร้างนี้แล้ว การพูดถึงเงื่อนไขต้น อินพุต เอาต์พุต และเสถียรภาพจะทำได้ง่ายขึ้นอย่างสอดคล้องกัน

ตัวอย่าง: แปลงสมการอันดับสองให้อยู่ในรูปปริภูมิสถานะ

เริ่มจาก

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

ที่นี่ $u(t)$ คืออินพุต เลือกตัวแปรสถานะที่สะท้อนสภาพปัจจุบันของระบบ:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

ตอนนี้เขียนสมการอันดับหนึ่งสำหรับตัวแปรสถานะแต่ละตัว เนื่องจาก $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

และเนื่องจาก $x_2 = y'$ เราจึงมี $x_2' = y''$ ด้วย จัดรูปสมการเดิมใหม่จะได้

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

แทน $y = x_1$ และ $y' = x_2$:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

ดังนั้นสมการสถานะคือ

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

ในรูปเวกเตอร์ โดยให้

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

จะได้ว่า

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

ถ้าเอาต์พุตคือปริมาณเดิม $y$ จะได้ว่า

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

ขั้นตอนสำคัญคือการแปลงจากสมการอันดับสองหนึ่งสมการให้เป็นสมการอันดับหนึ่งสองสมการ นี่คือหัวใจของการแทนระบบในปริภูมิสถานะ

สิ่งที่ควรสังเกตจากตัวอย่างนี้

ตัวแปรสถานะถูกเลือกอย่างมีเหตุผล เพราะมันทำให้สามารถเขียนแบบจำลองให้อยู่ในรูปของระบบอันดับหนึ่งได้

สังเกตด้วยว่าเอาต์พุต $y$ ไม่เหมือนกับเวกเตอร์สถานะทั้งหมด ในตัวอย่างนี้ $y = x_1$ ขณะที่สถานะทั้งหมดคือ $(x_1, x_2)$ แนวคิดสองอย่างนี้อาจทับซ้อนกันได้ แต่ไม่ได้เหมือนกันโดยอัตโนมัติ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อแปลงเป็นรูปปริภูมิสถานะ

สับสนระหว่างสถานะกับเอาต์พุต

สถานะประกอบด้วยตัวแปรภายในที่จำเป็นต่อการทำให้ระบบเปลี่ยนแปลงต่อไป ส่วนเอาต์พุตคือปริมาณที่คุณเลือกจะสังเกต บางครั้งทั้งสองอาจทับซ้อนกัน แต่ไม่ได้เหมือนกันโดยอัตโนมัติ

คิดว่ารูปแทนมีได้เพียงแบบเดียว

โดยทั่วไปไม่ใช่ การเลือกตัวแปรสถานะต่างกันสามารถอธิบายพลวัตเดียวกันได้ ตราบใดที่เก็บข้อมูลได้เพียงพอ

ลืมเงื่อนไขที่ต้องเป็นอันดับหนึ่ง

แบบจำลองปริภูมิสถานะต้องเขียนเป็นสมการอันดับหนึ่งในตัวแปรสถานะ ถ้ายังมีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรสถานะเหลืออยู่ แสดงว่ายังเขียนใหม่ไม่เสร็จ

มองว่าทุกแบบจำลองเป็นเชิงเส้น

รูปเมทริกซ์ที่มี $A$, $B$, $C$ และ $D$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อสมการเป็นเชิงเส้นในตัวแปรสถานะที่เลือก ระบบไม่เชิงเส้นก็ยังใช้ปริภูมิสถานะได้ แต่จะเขียนด้วยฟังก์ชันแทนเมทริกซ์ค่าคงที่

การแทนระบบในปริภูมิสถานะใช้ที่ไหนบ้าง

การแทนระบบในปริภูมิสถานะพบได้ในสมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีการควบคุม การประมวลผลสัญญาณ หุ่นยนต์ และฟิสิกส์ โดยมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อคุณสนใจว่าระบบเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร และอินพุตส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงนั้นอย่างไร

ถ้าแบบจำลองเป็นเชิงเส้น วิธีเชิงเมทริกซ์จะมีประโยชน์มากขึ้นเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ $A$ อาจช่วยอธิบายการเติบโต การลดลง หรือการสั่นได้ แต่จะใช้ได้ภายใต้สมมติฐานที่อยู่ในแบบจำลองเท่านั้น

ลองทำด้วยตัวเอง

พิจารณา

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

แล้วเลือก $x_1 = y$, $x_2 = y'$. เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของระบบอันดับหนึ่ง จากนั้นระบุเมทริกซ์ $A$ ถ้าเริ่มเข้าใจแล้ว ลองทำโจทย์คล้ายกันที่มีพจน์อินพุต แล้วดูว่าเมทริกซ์ $B$ ปรากฏขึ้นอย่างไร