Rappresentazione nello spazio di stato

La rappresentazione nello spazio di stato riscrive un sistema dinamico come un insieme di equazioni del primo ordine. Invece di lavorare con un’unica equazione differenziale di ordine superiore, si segue un vettore di stato che contiene le informazioni necessarie per prevedere che cosa accadrà dopo.

Se hai cercato come convertire un’equazione differenziale nella forma nello spazio di stato, questa è l’idea centrale: scegliere le variabili di stato, scrivere un’equazione per la derivata di ciascuna variabile e mantenere il modello del primo ordine.

La rappresentazione nello spazio di stato in una definizione

In generale, un modello nello spazio di stato può essere scritto come

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Qui $x(t)$ è il vettore di stato e $u(t)$ è un ingresso, se il sistema ne ha uno. Se il sistema è lineare e tempo-invariante, la stessa idea assume la forma matriciale

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Questa versione matriciale è comune nel controllo e nelle equazioni differenziali, ma lo spazio di stato è più ampio del solo caso lineare.

Che cosa significa lo stato

Lo stato è l’insieme delle grandezze correnti che ti permette di determinare il comportamento futuro una volta noto l’ingresso. Per un oggetto in movimento, la sola posizione di solito non basta. Posizione e velocità insieme spesso sì.

Ecco perché la rappresentazione nello spazio di stato è utile. Trasforma un problema di evoluzione nel tempo in una forma standard del primo ordine, più facile da analizzare, simulare e collegare ai metodi matriciali.

Perché riscrivere un sistema in questo modo

Molti modelli partono come equazioni differenziali di ordine superiore. La forma nello spazio di stato li riscrive senza cambiare la dinamica sottostante.

Questo è importante perché i sistemi del primo ordine rientrano tutti nella stessa struttura. Una volta che un modello è in quella struttura, diventa più facile discutere in modo coerente condizioni iniziali, ingressi, uscite e stabilità.

Esempio svolto: convertire un’equazione del secondo ordine nello spazio di stato

Parti da

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Qui $u(t)$ è un ingresso. Scegli variabili di stato che catturino la condizione attuale del sistema:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Ora scrivi un’equazione del primo ordine per ogni variabile di stato. Poiché $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

Poiché $x_2 = y'$, abbiamo anche $x_2' = y''$. Riordinando l’equazione originale si ottiene

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Sostituisci $y = x_1$ e $y' = x_2$:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Quindi le equazioni di stato sono

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

In forma vettoriale, con

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

questo diventa

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Se l’uscita è la grandezza originale $y$, allora

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

Il passaggio chiave è la conversione da un’unica equazione del secondo ordine a due equazioni del primo ordine. Questo è il cuore della rappresentazione nello spazio di stato.

Che cosa notare in questo esempio

Le variabili di stato sono state scelte per un motivo. Rendono possibile scrivere il modello come un sistema del primo ordine.

Nota anche che l’uscita $y$ non coincide con l’intero vettore di stato. In questo esempio, $y = x_1$, mentre lo stato completo è $(x_1, x_2)$. Queste idee possono sovrapporsi, ma non sono automaticamente identiche.

Errori comuni nella conversione alla forma nello spazio di stato

Confondere lo stato con l’uscita

Lo stato contiene le variabili interne necessarie per far evolvere il sistema. L’uscita è la grandezza che scegli di osservare. A volte coincidono in parte, ma non sono automaticamente la stessa cosa.

Supporre che la rappresentazione sia unica

Di solito non lo è. Scelte diverse delle variabili di stato possono descrivere la stessa dinamica, purché catturino informazioni sufficienti.

Dimenticare il requisito del primo ordine

Un modello nello spazio di stato è scritto come un insieme di equazioni del primo ordine nelle variabili di stato. Se ti rimane ancora una derivata del secondo ordine di una variabile di stato, la riscrittura non è finita.

Trattare ogni modello come lineare

La forma matriciale con $A$, $B$, $C$ e $D$ si applica solo quando le equazioni sono lineari nelle variabili di stato scelte. I sistemi non lineari usano comunque lo spazio di stato, ma vengono scritti con funzioni invece che con matrici costanti.

Dove si usa la rappresentazione nello spazio di stato

La rappresentazione nello spazio di stato compare nelle equazioni differenziali, nella teoria del controllo, nell’elaborazione dei segnali, nella robotica e nella fisica. È particolarmente utile quando ti interessa come un sistema cambia nel tempo e come gli ingressi influenzano quel cambiamento.

Se il modello è lineare, i metodi matriciali diventano particolarmente utili. Per esempio, gli autovalori della matrice $A$ possono aiutare a descrivere crescita, decadimento o oscillazione, ma solo sotto le ipotesi incorporate nel modello.

Prova la tua versione

Prendi

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

e scegli $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Riscrivilo come sistema del primo ordine, poi individua la matrice $A$. Se questo ti è chiaro, prova un esercizio simile con un termine di ingresso e osserva come compare la matrice $B$.