Représentation d'état

La représentation d’état réécrit un système dynamique comme un ensemble d’équations du premier ordre. Au lieu de travailler avec une seule équation différentielle d’ordre supérieur, on suit un vecteur d’état qui contient les informations nécessaires pour prévoir ce qui se passe ensuite.

Si vous cherchez comment convertir une équation différentielle en forme d’état, voici l’idée essentielle : choisir des variables d’état, écrire une équation pour la dérivée de chacune, et garder le modèle au premier ordre.

La représentation d’état en une définition

En général, un modèle d’état peut s’écrire

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Ici, $x(t)$ est le vecteur d’état et $u(t)$ est une entrée lorsque le système en possède une. Si le système est linéaire et invariant dans le temps, la même idée prend la forme matricielle

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Cette version matricielle est courante en automatique et en équations différentielles, mais l’espace d’état est plus général que le seul cas linéaire.

Ce que signifie l’état

L’état est l’ensemble des grandeurs actuelles qui permettent de déterminer le comportement futur une fois l’entrée connue. Pour un objet en mouvement, la position seule ne suffit généralement pas. La position et la vitesse ensemble suffisent souvent.

C’est pourquoi la représentation d’état est utile. Elle transforme un problème d’évolution temporelle en une forme standard du premier ordre, plus facile à analyser, à simuler et à relier aux méthodes matricielles.

Pourquoi réécrire un système de cette façon

Beaucoup de modèles commencent sous la forme d’équations différentielles d’ordre supérieur. La forme d’état les réécrit sans modifier la dynamique sous-jacente.

C’est important parce que les systèmes du premier ordre s’inscrivent dans une structure unique. Une fois qu’un modèle est dans cette structure, il devient plus facile de discuter de conditions initiales, d’entrées, de sorties et de stabilité de manière cohérente.

Exemple détaillé : convertir une équation du second ordre en représentation d’état

Partons de

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Ici, $u(t)$ est une entrée. Choisissons des variables d’état qui capturent la condition actuelle du système :

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Écrivons maintenant une équation du premier ordre pour chaque variable d’état. Comme $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

Comme $x_2 = y'$, on a aussi $x_2' = y''$. En réarrangeant l’équation d’origine, on obtient

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Remplaçons alors $y = x_1$ et $y' = x_2$ :

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Les équations d’état sont donc

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

Sous forme vectorielle, avec

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

cela devient

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Si la sortie est la grandeur d’origine $y$, alors

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

L’étape clé est le passage d’une équation du second ordre à deux équations du premier ordre. C’est le cœur de la représentation d’état.

Ce qu’il faut remarquer dans cet exemple

Les variables d’état n’ont pas été choisies au hasard. Elles permettent d’écrire le modèle comme un système du premier ordre.

Remarquez aussi que la sortie $y$ n’est pas la même chose que le vecteur d’état complet. Dans cet exemple, $y = x_1$, tandis que l’état complet est $(x_1, x_2)$. Ces idées peuvent se recouper, mais elles ne sont pas automatiquement identiques.

Erreurs courantes lors de la conversion en représentation d’état

Confondre l’état et la sortie

L’état contient les variables internes nécessaires pour faire évoluer le système. La sortie est la grandeur que vous choisissez d’observer. Elles coïncident parfois, mais ce n’est pas automatique.

Supposer que la représentation est unique

En général, elle ne l’est pas. Des choix différents de variables d’état peuvent décrire la même dynamique, tant qu’ils capturent suffisamment d’information.

Oublier l’exigence du premier ordre

Un modèle d’état s’écrit avec des équations du premier ordre en variables d’état. S’il reste encore une dérivée du second ordre d’une variable d’état, la réécriture n’est pas terminée.

Considérer que tous les modèles sont linéaires

La forme matricielle avec $A$, $B$, $C$ et $D$ ne s’applique que lorsque les équations sont linéaires par rapport aux variables d’état choisies. Les systèmes non linéaires utilisent aussi l’espace d’état, mais ils s’écrivent avec des fonctions plutôt qu’avec des matrices constantes.

Où la représentation d’état est utilisée

La représentation d’état apparaît en équations différentielles, en théorie du contrôle, en traitement du signal, en robotique et en physique. Elle est particulièrement utile lorsque l’on s’intéresse à la façon dont un système évolue dans le temps et à la manière dont les entrées influencent cette évolution.

Si le modèle est linéaire, les méthodes matricielles deviennent particulièrement utiles. Par exemple, les valeurs propres de la matrice $A$ peuvent aider à décrire une croissance, une décroissance ou une oscillation, mais seulement dans le cadre des hypothèses intégrées au modèle.

Essayez votre propre version

Prenez

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

et choisissez $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Réécrivez-le comme un système du premier ordre, puis identifiez la matrice $A$. Si cela devient clair, essayez un problème similaire avec un terme d’entrée et voyez comment la matrice $B$ apparaît.