Bội chung nhỏ nhất (LCM) - Cách tìm và ví dụ

Bội chung nhỏ nhất, hay LCM, là số nguyên dương nhỏ nhất là bội chung của hai hay nhiều số nguyên dương. Ví dụ, LCM của $6$ và $8$ là $24$ vì $24$ là bội của cả hai số, và không có số dương nhỏ hơn nào thỏa mãn.

Đây là khái niệm bạn thường cần khi tìm mẫu số chung, xét các lịch lặp lại, và giải những câu hỏi hỏi khi nào hai quy luật trùng nhau trở lại.

LCM Có Nghĩa Là Gì

Một bội của $6$ là bất kỳ số nào có dạng $6k$ với $k$ là số nguyên dương: $6, 12, 18, 24, \dots$

Một bội của $8$ là bất kỳ số nào có dạng $8k$: $8, 16, 24, 32, \dots$

Số dương đầu tiên xuất hiện trong cả hai danh sách là $24$, nên:

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

Bạn nên ghi nhớ một điểm khác nhau quan trọng:

• Ước là số chia hết một số.
• Bội là số tạo ra bằng cách nhân với một số.

LCM nói về bội, không phải ước.

Ba Cách Tin Cậy Để Tìm LCM

1. Liệt Kê Các Bội

Cách này phù hợp với các số nhỏ.

Với $4$ và $10$:

• Các bội của $4$: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• Các bội của $10$: $10, 20, 30, \dots$

Bội chung đầu tiên là $20$, nên LCM là $20$.

2. Dùng Phân Tích Thừa Số Nguyên Tố

Đây thường là cách rõ ràng nhất với các số nguyên dương lớn hơn.

Viết mỗi số dưới dạng tích các số nguyên tố, rồi giữ lại mọi số nguyên tố xuất hiện, với số mũ lớn nhất của từng số nguyên tố.

3. Dùng Mối Liên Hệ Với GCD

Với hai số nguyên dương $a$ và $b$,

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

Cách này hiệu quả nếu bạn đã biết ước chung lớn nhất. Điều kiện này rất quan trọng: công thức này dùng cho các số nguyên dương.

Ví Dụ Có Lời Giải: Tìm LCM Của $12$ Và $18$

Dùng phân tích thừa số nguyên tố:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

Để lập LCM, giữ mỗi số nguyên tố với số mũ lớn hơn:

• Với $2$, số mũ lớn hơn là $2$
• Với $3$, số mũ lớn hơn là $2$

Vậy:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Kiểm tra trực tiếp:

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

Vậy $36$ là một bội chung. Phương pháp thừa số nguyên tố cho ra bội chung nhỏ nhất vì nó dùng đúng các lũy thừa nguyên tố cần thiết để chứa cả hai số.

Khi Nào Dùng LCM

LCM hữu ích khi bài toán hỏi về một chu kỳ chung hoặc một mẫu số chung.

Một ví dụ quen thuộc là cộng phân số:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

Các mẫu số $6$ và $8$ có LCM là $24$, nên $24$ là một mẫu số chung thuận tiện:

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

Khi đó:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

Bạn cũng dùng LCM khi hai sự kiện lặp lại sau mỗi $m$ và $n$ đơn vị thời gian, và bạn muốn biết thời điểm đầu tiên chúng cùng xảy ra.

Những Lỗi Thường Gặp

Nhầm Lẫn Giữa LCM Và GCD

Nếu câu hỏi yêu cầu bội chung nhỏ nhất, hãy dùng LCM. Nếu câu hỏi yêu cầu ước chung lớn nhất, hãy dùng GCD.

Dừng Ở Một Bội Chung Nhưng Chưa Phải Nhỏ Nhất

Với $6$ và $8$, cả $24$ và $48$ đều là bội chung, nhưng chỉ có $24$ là bội chung nhỏ nhất.

Dùng Quy Tắc Số Mũ Lớn Hơn Khi Chưa Phân Tích Ra Thừa Số Nguyên Tố

Quy tắc “lấy số mũ lớn hơn” chỉ áp dụng sau khi các số đã được viết dưới dạng phân tích thừa số nguyên tố của các số nguyên dương.

Cách Kiểm Tra Nhanh

Sau khi tìm được LCM, hãy kiểm tra hai điều:

1. Kết quả của bạn có chia hết cho từng số ban đầu không?
2. Có bội chung dương nào nhỏ hơn không?

Với phương pháp thừa số nguyên tố, cách kiểm tra thứ hai thường đã nằm ngay trong bản thân phương pháp.

Tự Thử Một Bài

Hãy thử tìm LCM của $15$ và $20$ theo hai cách: liệt kê các bội và phân tích thừa số nguyên tố. Nếu bạn muốn kiểm tra thêm với các số lớn hơn, một công cụ giải toán có thể giúp xác minh phép phân tích và bội chung cuối cùng.