ค.ร.น. (LCM) คืออะไร - วิธีหาและตัวอย่าง

ค่าน้อยที่สุดร่วม หรือ LCM คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นพหุคูณร่วมของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป ตัวอย่างเช่น ค.ร.น. ของ $6$ และ $8$ คือ $24$ เพราะ $24$ เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน และไม่มีจำนวนบวกที่น้อยกว่านี้ที่ใช้ได้

แนวคิดนี้มักใช้เมื่อหาตัวส่วนร่วม การดูรอบเวลาที่เกิดซ้ำ และโจทย์ที่ถามว่าเมื่อไรแบบรูปสองแบบจะกลับมาตรงกันอีกครั้ง

ค.ร.น. หมายถึงอะไร

พหุคูณของ $6$ คือจำนวนใด ๆ ที่อยู่ในรูป $6k$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก: $6, 12, 18, 24, \dots$

พหุคูณของ $8$ คือจำนวนใด ๆ ที่อยู่ในรูป $8k$: $8, 16, 24, 32, \dots$

จำนวนบวกตัวแรกที่ปรากฏในทั้งสองรายการคือ $24$ ดังนั้น:

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

มีข้อเปรียบเทียบหนึ่งที่ควรจำไว้:

• ตัวประกอบ คือจำนวนที่หารอีกจำนวนหนึ่งลงตัว
• พหุคูณ คือจำนวนที่ได้จากการนำจำนวนหนึ่งไปคูณ

ค.ร.น. เกี่ยวกับพหุคูณ ไม่ใช่ตัวประกอบ

3 วิธีที่เชื่อถือได้ในการหา ค.ร.น.

1. ไล่พหุคูณ

วิธีนี้เหมาะกับจำนวนที่ไม่ใหญ่มาก

สำหรับ $4$ และ $10$:

• พหุคูณของ $4$: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• พหุคูณของ $10$: $10, 20, 30, \dots$

พหุคูณร่วมตัวแรกคือ $20$ ดังนั้น ค.ร.น. คือ $20$

2. ใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ

วิธีนี้มักชัดเจนที่สุดเมื่อใช้กับจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากขึ้น

เขียนแต่ละจำนวนให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ จากนั้นเก็บจำนวนเฉพาะทุกตัวที่ปรากฏ โดยใช้เลขชี้กำลังที่มากที่สุดของแต่ละจำนวนเฉพาะ

3. ใช้ความสัมพันธ์กับ ห.ร.ม.

สำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวน $a$ และ $b$

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

วิธีนี้มีประสิทธิภาพถ้าคุณรู้ค่าห.ร.ม. อยู่แล้ว เงื่อนไขนี้สำคัญ: สูตรนี้ใช้กับจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างทำโจทย์: หา ค.ร.น. ของ $12$ และ $18$

ใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

ในการสร้าง ค.ร.น. ให้เก็บจำนวนเฉพาะแต่ละตัวด้วยเลขชี้กำลังที่มากกว่า:

• สำหรับ $2$ เลขชี้กำลังที่มากกว่าคือ $2$
• สำหรับ $3$ เลขชี้กำลังที่มากกว่าคือ $2$

ดังนั้น:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

ตรวจสอบโดยตรงได้ว่า:

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

ดังนั้น $36$ เป็นพหุคูณร่วม วิธีแยกตัวประกอบเฉพาะให้ค่าที่น้อยที่สุด เพราะใช้กำลังของจำนวนเฉพาะเท่าที่จำเป็นเพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองจำนวน

ค.ร.น. ใช้เมื่อไร

ค.ร.น. มีประโยชน์เมื่อโจทย์ถามหาวงรอบร่วม หรือตัวส่วนร่วม

ตัวอย่างที่พบบ่อยคือการบวกเศษส่วน:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

ตัวส่วน $6$ และ $8$ มี ค.ร.น. เท่ากับ $24$ ดังนั้น $24$ จึงเป็นตัวส่วนร่วมที่สะดวก:

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

จากนั้น:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

คุณยังใช้ ค.ร.น. เมื่อมีเหตุการณ์ที่เกิดซ้ำทุก ๆ $m$ และ $n$ หน่วย และต้องการรู้ว่าเวลาแรกที่ทั้งสองเหตุการณ์เกิดพร้อมกันคือเมื่อไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สับสนระหว่าง ค.ร.น. และ ห.ร.ม.

ถ้าโจทย์ถามหาพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุด ให้ใช้ ค.ร.น. ถ้าถามหาตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด ให้ใช้ ห.ร.ม.

หยุดที่พหุคูณร่วมที่ยังไม่ใช่ค่าน้อยที่สุด

สำหรับ $6$ และ $8$ ทั้ง $24$ และ $48$ เป็นพหุคูณร่วม แต่มีเพียง $24$ เท่านั้นที่เป็นค่าน้อยที่สุดร่วม

ใช้กฎเลขชี้กำลังที่มากกว่าโดยยังไม่ได้แยกตัวประกอบเฉพาะ

กฎ “เลือกเลขชี้กำลังที่มากกว่า” ใช้ได้หลังจากเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็มบวกแล้ว

วิธีตรวจเร็ว

หลังจากหา ค.ร.น. ได้แล้ว ให้ตรวจสองอย่าง:

1. คำตอบของคุณหารด้วยจำนวนตั้งต้นแต่ละจำนวนลงตัวหรือไม่
2. มีพหุคูณร่วมที่เป็นจำนวนบวกและเล็กกว่านี้อีกหรือไม่

สำหรับวิธีแยกตัวประกอบเฉพาะ การตรวจข้อที่สองมักรวมอยู่ในวิธีอยู่แล้ว

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองหา ค.ร.น. ของ $15$ และ $20$ สองวิธี: โดยการไล่พหุคูณ และโดยการแยกตัวประกอบเฉพาะ ถ้าต้องการตรวจคำตอบอีกครั้งสำหรับจำนวนที่ใหญ่ขึ้น เครื่องมือแก้โจทย์คณิตศาสตร์สามารถช่วยตรวจการแยกตัวประกอบและพหุคูณสุดท้ายได้