Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) – metody i przykłady

Najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli NWW, to najmniejsza dodatnia liczba, która jest wspólną wielokrotnością dwóch lub więcej dodatnich liczb całkowitych. Na przykład NWW liczb $6$ i $8$ wynosi $24$, ponieważ $24$ jest wielokrotnością obu tych liczb i nie istnieje mniejsza dodatnia liczba spełniająca ten warunek.

To pojęcie jest zwykle potrzebne przy sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika, analizie powtarzających się harmonogramów oraz w zadaniach pytających, kiedy dwa wzory znów się pokryją.

Co oznacza NWW

Wielokrotność liczby $6$ to każda liczba postaci $6k$ dla dodatniej liczby całkowitej $k$: $6, 12, 18, 24, \dots$

Wielokrotność liczby $8$ to każda liczba postaci $8k$: $8, 16, 24, 32, \dots$

Pierwszą dodatnią liczbą, która pojawia się na obu listach, jest $24$, więc:

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

Warto pamiętać o jednym ważnym rozróżnieniu:

• Dzielnik dzieli liczbę.
• Wielokrotność powstaje przez mnożenie liczby.

NWW dotyczy wielokrotności, a nie dzielników.

Trzy sprawdzone sposoby wyznaczania NWW

1. Wypisywanie wielokrotności

Ta metoda dobrze działa dla małych liczb.

Dla $4$ i $10$:

• Wielokrotności $4$: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• Wielokrotności $10$: $10, 20, 30, \dots$

Pierwszą wspólną wielokrotnością jest $20$, więc NWW wynosi $20$.

2. Rozkład na czynniki pierwsze

To często najczytelniejsza metoda dla większych dodatnich liczb całkowitych.

Zapisz każdą liczbę jako iloczyn liczb pierwszych, a następnie zachowaj każdą liczbę pierwszą, która się pojawia, biorąc największy wykładnik występujący przy każdej z nich.

3. Zależność z NWD

Dla dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ i $b$,

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

Ta metoda jest wygodna, jeśli znasz już największy wspólny dzielnik. Ten warunek ma znaczenie: tego wzoru używa się dla dodatnich liczb całkowitych.

Przykład: wyznacz NWW liczb $12$ i $18$

Użyj rozkładu na czynniki pierwsze:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

Aby zbudować NWW, zachowaj każdą liczbę pierwszą z większym wykładnikiem:

• Dla $2$ większy wykładnik to $2$
• Dla $3$ większy wykładnik to $2$

Zatem:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Sprawdźmy to bezpośrednio:

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

Zatem $36$ jest wspólną wielokrotnością. Metoda rozkładu na czynniki pierwsze daje najmniejszą taką liczbę, ponieważ używa dokładnie tych potęg liczb pierwszych, które są potrzebne, aby uwzględnić obie liczby.

Kiedy używa się NWW

NWW jest przydatna, gdy w zadaniu chodzi o wspólny cykl albo wspólny mianownik.

Jednym z typowych przykładów jest dodawanie ułamków:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

Mianowniki $6$ i $8$ mają NWW równą $24$, więc $24$ jest wygodnym wspólnym mianownikiem:

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

Wtedy:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

NWW używa się także wtedy, gdy dwa powtarzające się zdarzenia zachodzą co $m$ i $n$ jednostek czasu i chcesz znaleźć pierwszy moment, w którym wystąpią jednocześnie.

Częste błędy

Mylenie NWW i NWD

Jeśli pytanie dotyczy najmniejszej wspólnej wielokrotności, użyj NWW. Jeśli dotyczy największego wspólnego dzielnika, użyj NWD.

Zatrzymanie się na wspólnej wielokrotności, która nie jest najmniejsza

Dla $6$ i $8$ zarówno $24$, jak i $48$ są wspólnymi wielokrotnościami, ale tylko $24$ jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Stosowanie reguły większego wykładnika bez rozkładu na czynniki pierwsze

Zasada „weź większy wykładnik” ma zastosowanie dopiero wtedy, gdy liczby są zapisane w postaci rozkładu na czynniki pierwsze dodatnich liczb całkowitych.

Szybkie sprawdzenie

Po wyznaczeniu NWW sprawdź dwie rzeczy:

1. Czy twoja odpowiedź dzieli się przez każdą z początkowych liczb?
2. Czy istnieje mniejsza dodatnia wspólna wielokrotność?

W przypadku metody rozkładu na czynniki pierwsze drugie sprawdzenie jest zwykle już zawarte w samej metodzie.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj wyznaczyć NWW liczb $15$ i $20$ na dwa sposoby: przez wypisywanie wielokrotności oraz przez rozkład na czynniki pierwsze. Jeśli chcesz dodatkowo sprawdzić większe liczby, kalkulator matematyczny może pomóc zweryfikować rozkład i końcową wspólną wielokrotność.