Ước chung lớn nhất (GCF) — Cách tìm

Ước chung lớn nhất, hay GCF, là số nguyên dương lớn nhất chia hết cho mỗi số nguyên đã cho mà không dư. Nếu cần tìm GCF của $18$ và $24$, đáp án là $6$ vì $6$ chia hết cả hai số và không có số nguyên nào lớn hơn làm được điều đó.

Bạn có thể tìm GCF bằng cách liệt kê các ước hoặc dùng phân tích thừa số nguyên tố. Cách liệt kê thường nhanh nhất với các số nhỏ. Phân tích thừa số nguyên tố thường gọn hơn khi các số lớn hơn.

Ý nghĩa của ước chung lớn nhất

Ước là một số nguyên chia hết một số nguyên khác. Ước chung là ước mà các số cùng có. Ước chung lớn nhất là ước lớn nhất mà chúng cùng chia sẻ.

Vì vậy, GCF thường xuất hiện trong các bài toán chia nhóm và rút gọn phân số. Trong nhiều ngữ cảnh ở trường học, GCF và ước chung lớn nhất có cùng nghĩa đối với các số nguyên dương.

Cách tìm GCF

1. Liệt kê các ước

Viết tất cả các ước của mỗi số, rồi tìm số lớn nhất xuất hiện trong cả hai danh sách.

Với $18$, các ước là:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

Với $24$, các ước là:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Ước lớn nhất có trong cả hai danh sách là $6$.

2. Dùng phân tích thừa số nguyên tố

Phân tích mỗi số thành các thừa số nguyên tố, rồi chỉ giữ lại những thừa số nguyên tố mà cả hai số cùng có. Nếu một thừa số nguyên tố chung xuất hiện nhiều hơn một lần, dùng số mũ nhỏ hơn. Tích của các thừa số chung đó chính là GCF.

Ví dụ có lời giải: GCF của 18 và 24

Tìm GCF của $18$ và $24$ bằng phân tích thừa số nguyên tố.

Trước hết, phân tích từng số:

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

Bây giờ chỉ giữ lại các số nguyên tố mà cả hai số cùng có, dùng số mũ nhỏ hơn cho mỗi thừa số nguyên tố chung. Cả hai số đều có chung một $2$ và một $3$:

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

Vậy:

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

Có thể kiểm tra nhanh để xác nhận. Cả $18 \div 6$ và $24 \div 6$ đều là số nguyên, còn số lớn hơn tiếp theo là $12$ thì không chia hết $18$.

Những lỗi thường gặp khi tìm GCF

Một lỗi thường gặp là dừng lại quá sớm. Với $18$ và $24$, cả $2$ và $3$ đều là ước chung, nhưng không số nào là ước chung lớn nhất.

Một lỗi khác là nhầm lẫn giữa ước và bội. GCF tìm các số chia hết cả hai giá trị. Nó không tìm những số mà các giá trị ban đầu có thể tăng lên thành.

Học sinh cũng đôi khi bỏ sót các thừa số nguyên tố chung khi dùng cách phân tích. Nếu một số nguyên tố xuất hiện trong cả hai số, nó thuộc về GCF, nhưng chỉ lấy đến số mũ nhỏ hơn.

Khi nào dùng ước chung lớn nhất

GCF đặc biệt hữu ích khi bạn muốn rút gọn phân số, chia đồ vật thành các nhóm bằng nhau lớn nhất, hoặc tìm đơn vị đo lớn nhất khớp chính xác với nhiều số đo.

Ví dụ, để rút gọn $\frac{18}{24}$, ta bắt đầu bằng cách chia cả tử và mẫu cho GCF của chúng là $6$:

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Thử một bài tương tự

Hãy thử tìm GCF của $20$ và $30$ trước bằng cách liệt kê các ước, rồi bằng phân tích thừa số nguyên tố. Nếu cả hai cách cho cùng một đáp án, nghĩa là bạn đã hiểu ý tưởng.