최소공배수(LCM) - 구하는 방법과 예시

최소공배수(LCM)는 두 개 이상의 양의 정수가 공통으로 가지는 배수 중 가장 작은 양의 수를 말합니다. 예를 들어 $6$과 $8$의 최소공배수는 $24$인데, $24$는 두 수의 공배수이면서 그보다 더 작은 양의 수는 조건을 만족하지 않기 때문입니다.

이 개념은 보통 공통분모를 구할 때, 반복되는 일정이 다시 겹치는 시점을 찾을 때, 또는 두 패턴이 언제 다시 일치하는지를 묻는 문제에서 필요합니다.

최소공배수의 뜻

$6$의 배수는 양의 정수 $k$에 대해 $6k$ 꼴의 수입니다: $6, 12, 18, 24, \dots$

$8$의 배수는 $8k$ 꼴의 수입니다: $8, 16, 24, 32, \dots$

두 목록에 처음으로 함께 나타나는 양의 수는 $24$이므로,

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

다음 대비를 함께 기억하면 도움이 됩니다.

• 약수는 어떤 수를 나눕니다.
• 배수는 어떤 수에 정수를 곱해서 만들어집니다.

최소공배수는 약수가 아니라 배수에 관한 개념입니다.

최소공배수를 구하는 세 가지 확실한 방법

1. 배수를 나열하기

이 방법은 수가 작을 때 잘 통합니다.

$4$와 $10$에 대해 보면,

• $4$의 배수: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• $10$의 배수: $10, 20, 30, \dots$

처음 나오는 공배수는 $20$이므로 최소공배수는 $20$입니다.

2. 소인수분해 사용하기

이 방법은 더 큰 양의 정수에서 가장 분명한 경우가 많습니다.

각 수를 소수의 곱으로 나타낸 뒤, 등장한 모든 소수를 하나씩 남기고 각 소수에 대해서는 가장 큰 지수를 사용합니다.

3. 최대공약수와의 관계 이용하기

두 양의 정수 $a$와 $b$에 대해,

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

이 방법은 이미 최대공약수를 알고 있을 때 효율적입니다. 조건도 중요합니다. 이 공식은 양의 정수에 대해 사용합니다.

풀이 예시: $12$와 $18$의 최소공배수 구하기

소인수분해를 사용합니다.

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

최소공배수를 만들 때는 각 소수에서 더 큰 지수를 남깁니다.

• $2$의 지수는 더 큰 값이 $2$
• $3$의 지수는 더 큰 값이 $2$

따라서,

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

직접 확인해 보면,

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

따라서 $36$은 공배수입니다. 소인수분해 방법이 최소값을 주는 이유는, 두 수를 모두 포함하는 데 필요한 소수의 거듭제곱만 정확히 사용하기 때문입니다.

최소공배수는 언제 쓰일까

최소공배수는 문제에서 공통된 주기나 공통분모를 물을 때 유용합니다.

대표적인 예는 분수의 덧셈입니다.

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

분모 $6$과 $8$의 최소공배수는 $24$이므로, $24$는 편리한 공통분모입니다.

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

그러면,

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

또한 두 반복되는 일이 각각 $m$단위, $n$단위마다 일어날 때, 처음으로 함께 일어나는 시점을 구할 때도 최소공배수를 사용합니다.

자주 하는 실수

최소공배수와 최대공약수 헷갈리기

문제가 가장 작은 공통 배수를 묻는다면 최소공배수를 사용합니다. 가장 큰 공통 약수를 묻는다면 최대공약수를 사용합니다.

공배수를 찾고도 최소인지 확인하지 않기

$6$과 $8$의 경우 $24$와 $48$은 모두 공배수이지만, 최소공배수는 $24$뿐입니다.

소인수분해 없이 소수의 지수 규칙만 적용하기

"더 큰 지수를 취한다"는 규칙은 각 수를 양의 정수의 소인수분해 형태로 쓴 다음에 적용합니다.

빠르게 확인하는 방법

최소공배수를 구한 뒤에는 두 가지를 확인해 보세요.

1. 답이 원래의 각 수로 나누어떨어지는가?
2. 그보다 더 작은 양의 공배수는 없는가?

소인수분해 방법에서는 두 번째 확인이 보통 방법 자체에 이미 포함되어 있습니다.

직접 해보기

$15$와 $20$의 최소공배수를 두 가지 방법으로 구해 보세요. 배수를 나열하는 방법과 소인수분해 방법을 모두 써 보세요. 더 큰 수에서 한 번 더 확인하고 싶다면, 수학 풀이 도구를 이용해 소인수분해와 최종 공배수를 검산할 수 있습니다.