HCF và LCM — Cách tìm, mẹo nhanh & ví dụ

HCF là số nguyên dương lớn nhất chia hết cho hai hay nhiều số. LCM là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số đó.

Với $12$ và $18$, HCF là $6$ và LCM là $36$. Dùng HCF khi bạn cần chia thành các nhóm bằng nhau lớn nhất hoặc muốn rút gọn phân số. Dùng LCM khi bạn cần mẫu số chung hoặc muốn biết khi nào các chu kỳ lặp lại trùng nhau.

HCF và LCM: Ý tưởng cốt lõi

Ước là số chia một số khác mà không dư. Bội là số nhận được khi nhân.

Từ đó có sự khác nhau chính:

• HCF tìm ước chung lớn nhất.
• LCM tìm bội chung nhỏ nhất.

Trong nhiều ngữ cảnh ở trường học, HCF có cùng ý tưởng với GCF hoặc GCD đối với các số nguyên dương. Tên gọi thay đổi theo từng khu vực, nhưng ý tưởng tính toán là như nhau.

Khi nào dùng HCF và khi nào dùng LCM

Dùng HCF khi bài toán nói về việc chia một thứ thành các phần bằng nhau lớn nhất hoặc rút gọn một phân số.

Dùng LCM khi bài toán nói về việc khớp các chu kỳ, tìm mẫu số chung, hoặc hỏi số đầu tiên mà cả hai giá trị đều chia hết vào.

Có một cách kiểm tra nhanh:

• "Phần chung lớn nhất là gì?" nghĩa là HCF.
• "Tổng chung đầu tiên là gì?" nghĩa là LCM.

Cách tìm HCF và LCM

1. Phương pháp liệt kê

Với các số nhỏ, liệt kê thường là cách nhanh nhất.

Nếu muốn tìm HCF, hãy liệt kê các ước và chọn ước chung lớn nhất.

Nếu muốn tìm LCM, hãy liệt kê các bội và chọn bội chung nhỏ nhất.

2. Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố

Với các số nguyên dương lớn hơn, phân tích thừa số nguyên tố thường gọn hơn.

Viết mỗi số dưới dạng tích các số nguyên tố. Sau đó:

• Với HCF, chỉ giữ các thừa số nguyên tố chung và lấy số mũ nhỏ hơn.
• Với LCM, giữ mọi thừa số nguyên tố xuất hiện và lấy số mũ lớn hơn.

Cách này đúng vì HCF phải nằm trong cả hai số, còn LCM phải chứa đủ các thừa số nguyên tố để bao trùm cả hai số.

Ví dụ có lời giải: HCF và LCM của $12$ và $18$

Bắt đầu với phân tích thừa số nguyên tố:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

HCF

Các thừa số nguyên tố chung là $2$ và $3$. Mỗi lần lấy số mũ nhỏ hơn:

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$$

LCM

Giữ mọi thừa số nguyên tố xuất hiện, mỗi lần lấy số mũ lớn hơn:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Vậy với cặp số này,

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 6 \qquad \text{và} \qquad \mathrm{LCM}(12,18) = 36$$

Mẹo nhanh cho hai số

Với hai số nguyên dương $a$ và $b$,

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

Vì vậy nếu bạn đã biết một trong hai giá trị, bạn thường có thể tìm giá trị còn lại:

$$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$$

Điều kiện ở đây rất quan trọng. Mẹo nhanh này ở dạng đơn giản chỉ áp dụng cho hai số nguyên dương.

Những lỗi thường gặp với HCF và LCM

Nhầm lẫn giữa ước và bội

HCF liên quan đến các số chia hết cho các số ban đầu. LCM liên quan đến các số mà các số ban đầu chia hết vào.

Dùng sai số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố

Với HCF, dùng số mũ nhỏ hơn. Với LCM, dùng số mũ lớn hơn. Đảo ngược hai quy tắc này sẽ cho đáp án sai rất nhanh.

Chọn một số chung nhưng không phải số đúng cần tìm

$2$ và $3$ đều là ước chung của $12$ và $18$, nhưng không số nào là lớn nhất. Tương tự, $72$ là bội chung của $12$ và $18$, nhưng không phải là bội chung nhỏ nhất.

Dùng mẹo tích mà không đúng điều kiện

Mẹo

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

là một cách kiểm tra chuẩn cho hai số nguyên dương. Đây không phải là phương pháp chính để áp dụng máy móc cho mọi bài toán có nhiều số.

HCF và LCM được dùng ở đâu

HCF được dùng để rút gọn phân số và để chia các đại lượng thành những nhóm bằng nhau lớn nhất.

LCM được dùng cho mẫu số chung và cho các bài toán về thời điểm, chẳng hạn khi hai sự kiện lặp lại cùng xảy ra trở lại.

Ví dụ, để rút gọn

$$\frac{12}{18},$$

hãy chia tử số và mẫu số cho HCF của chúng là $6$:

$$\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

Nếu bạn đang cộng các phân số có mẫu số là $12$ và $18$, thì LCM là $36$ sẽ là một mẫu số chung thuận tiện.

Thử một bài tương tự

Tìm HCF và LCM của $20$ và $30$ bằng phân tích thừa số nguyên tố. Sau đó kiểm tra kết quả của bạn bằng

$$\mathrm{HCF}(20,30) \cdot \mathrm{LCM}(20,30) = 20 \cdot 30.$$

Nếu hai vế bằng nhau, значит là bạn đã nắm được phương pháp.